Produit scalaire dans le plan/Exercice/Droite d'Euler
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| Exercice 2 | |||
| Leçon : Produit scalaire dans le plan | |||
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| Chapitre du cours : | 1 | ||
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Cet exercice est de niveau 11. |
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Droite d'Euler
Produit scalaire dans le plan/Exercice/Droite d'Euler », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On considère un triangle ABC.
On note G le centre de gravité du triangle.
1. On note A' le milieu de [BC]. On rappelle (et on admettra) que G se situe au 
des trois médianes du triangle.
Exprimer 
en fonction de 
.
2. Soient O et H deux points quelconques du plan. En introduisant O et H dans la relation du 1°, démontrer que :
3. On note à présent H l'orthocentre du triangle ABC (l'intersection des 3 hauteurs)
et O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC (l'intersection des trois médiatrices).
Démontrer que :
4. Pourquoi peut-on en déduire également :
5. En déduire que :
6. En déduire que O, G et H sont alignés (sur une droite appelée Droite d'Euler du triangle ABC).
Correction des deux premières questions :
1. G se situe au des trois médianes du triangle. On a donc :
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2. On vient de montrer que 
En utilisant la relation de Chasles, on obtient :
Et, en utilisant une nouvelle fois la relation de Chasles :
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NB : Pour le niveau 12, voir la démonstration avec les nombres complexes.
