Produit scalaire dans le plan/Exercice/Applications directes

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**produit scalaire**
Leçon : Vecteur

Exercice 2
Chapitre du cours :	4
Cet exercice est de niveau 11.

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Produit scalaire dans le plan/Exercice/Applications directes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Calculs avec les coordonnées
2 Coordonnées et angles
3 Coordonnées et angles
4 Coordonnées et angles
5 Coordonnées et angles
6 Vecteur orthogonal
7 Droite
8 Droite définie par un point et un vecteur normal
9 Somme de deux vecteurs
10 Théorème d'Al Kashi
11 Tangente à un cercle

[modifier] Calculs avec les coordonnées

On définit trois vecteurs du plan par leurs coordonnées dans une base $(\vec{i},\vec{j})$ orthonormée.

$\vec{v_1}\binom{1}{2}$ $\vec{v_2}\binom{-3}{0}$ $\vec{v_3}\binom{-2}{1}$

1. Calculer $\vec{v_1}.\vec{v_2}$ ; $\vec{v_1}.\vec{v_3}$ ; $\vec{v_2}.\vec{v_3}$ .

2. Parmi ces vecteurs, y en a-t-il qui sont orthogonaux ?

Solution

1. $\vec{v_1}.\vec{v_2} = 1 \times (-3) + 2 \times 0$

$\vec{v_1}.\vec{v_2} = -3$

$\vec{v_1}.\vec{v_3} = 1 \times (-2) + 2 \times 1$

$\vec{v_1}.\vec{v_3} = 0$

$\vec{v_2}.\vec{v_3} = (-3) \times (-2) + 0 \times 1$

$\vec{v_2}.\vec{v_3} = 6$

2. $\vec{v_1}.\vec{v_3} = 0$ . De plus, ni $\vec{v_1}$ ni $\vec{v_3}$ ne sont nuls. Donc $\vec{v_1}$ et $\vec{v_3}$ sont orthogonaux.

[modifier] Coordonnées et angles

Dans une base $(\vec{i},\vec{j})$ orthonormée.

$\vec{u}\binom{1}{-2}$ et $\vec{v}\binom{-3}{1}$

1. Calculer $\vec{u}.\vec{v}$

2. Calculer $||\vec{u}||$ et $||\vec{v}||$

3. En déduire une mesure de l'angle $(\vec{u};\vec{v})$ en radians puis en degrés.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

[modifier] Coordonnées et angles

Dans une base $(\vec{i},\vec{j})$ orthonormée.

$\vec{u}\binom{2}{-3}$ et $\vec{v}\binom{-2}{5}$

Donner une mesure de l'angle $(\vec{u};\vec{v})$ en radians puis en degrés.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

[modifier] Coordonnées et angles

Dans une base $(\vec{i},\vec{j})$ orthonormée.

$\vec{u}\binom{-2}{3}$ et $\vec{v}\binom{2}{-5}$

Donner une mesure de l'angle $(\vec{u};\vec{v})$ en radians puis en degrés.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

[modifier] Coordonnées et angles

Dans une base $(\vec{i},\vec{j})$ orthonormée.

$\vec{u}\binom{-1}{2}$ et $\vec{v}\binom{3}{-1}$

Donner une mesure de l'angle $(\vec{u};\vec{v})$ en radians puis en degrés.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

[modifier] Vecteur orthogonal

Donner un vecteur orthogonal au vecteur $\vec{u}\binom{a}{b}$ .

Solution

Soit $\vec{v}\binom{x}{y}$ un vecteur orthogonal à $\vec{u}$ . Les coordonnées de $\vec{u}$ et de $\vec{v}$ vérifient donc l'équation :

$a \times x + b \times y = 0$

Ainsi, si l'on prend $x = b\,\!$ et $y = -a\,\!$ , l'équation est vérifiée. En effet $a \times b + b \times (-a) = a \times b - b \times a = 0$

Le vecteur $\vec{v}\binom{b}{-a}$ est un vecteur orthogonal à $\vec{u}\binom{a}{b}$

[modifier] Droite

Soit la droite D dont l'équation dans un repère orthonormé est :

$y=-2x+3\,$

1. Donner un vecteur directeur de la droite D.

2. Donner un vecteur orthogonal à la droite D (vecteur normal)

Solution

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[modifier] Droite définie par un point et un vecteur normal

Soit, dans un repère orthonormé, la droite $\mathcal{D}\,$ passant par $A(2;-5)\,$ et

orthogonale au vecteur $\vec{u}\binom{2}{-3}$ .

Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}\,$ en notant $M(x;y)\,$ un point de $\mathcal{D}\,$

et en écrivant que :

$\overrightarrow{AM}.\vec{u}=0$

Solution

$M(x;y)\,$ appartient à $\mathcal{D}\,$ si, et seulement si $\vec{AM}.\vec{u} = 0$ .

Or $\vec{AM}\binom{x-2}{y+5}$

$\vec{AM}.\vec{u} = 0$ ⇔ $2 \times (x-2) + (-3) \times (y+5) = 0$

$2x - 4 - 3y - 15 = 0\,\!$

$- 3y + 2x - 19 = 0\,\!$

$- 3y = - 2x + 19\,\!$

$y = \frac{2}{3} x - \frac{19}{3}$

[modifier] Somme de deux vecteurs

Soit deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que :

$||\vec{u}||=2$

$||\vec{v}||=5$

$(\vec{u},\vec{v})=30^\circ$

1. Développer $(\vec{u}+ \vec{v})^2\,$

2. En déduire la norme du vecteur $\vec{u}+\vec{v}\,$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

[modifier] Théorème d'Al Kashi

Soit ABC un triangle.

1. Démontrer en développant $(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^2\,$

que :

$BC^2=AC^2+AB^2-2AB.AC.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB})$

2. En utilisant la formule de 1°, calculer BC avec :

$AC = 3\,$ ; $AB = 2\,$ et $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=25^\circ$ .

3. En utilisant la formule de 1°, calculer BC avec :

$AC = 3\,$ ; $AB = 4\,$ et $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=45^\circ$ .

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

[modifier] Tangente à un cercle

Soit le cercle C de centre A (1;-1) et de rayon $\sqrt{2}$ .

1. Démontrer que B(2,0) appartient à C.

2. Donner une équation de la tangente à C au point B.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

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Sommaire

[modifier] Calculs avec les coordonnées

[modifier] Coordonnées et angles

[modifier] Coordonnées et angles

[modifier] Coordonnées et angles

[modifier] Coordonnées et angles

[modifier] Vecteur orthogonal

[modifier] Droite

[modifier] Droite définie par un point et un vecteur normal

[modifier] Somme de deux vecteurs

[modifier] Théorème d'Al Kashi

[modifier] Tangente à un cercle

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