Probabilités sur les ensembles finis/Probabilités conditionnelles

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Probabilité de A sachant B

Définition

Soient A et B deux événements d'un espace probabilisé.

On définit la probabilité conditionnelle de A sachant B par :

$P_{B}(A)=P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$.

Début de l'exemple

Exercices

• On lance un dé équilibré. On note B l'événement « obtenir un numéro pair » et A l'événement « obtenir 4 ».

  Calculer $P_{B}(A)$ et interpréter ce calcul.

Solution

On a $P(B)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$. De plus, 4 étant un nombre pair, il vient $P(A\cap B)=P(A)={\frac {1}{6}}$, donc $P_{B}(A)={\frac {1}{3}}$.

Ceci peut se comprendre facilement : entre 1 et 6, il y a trois nombres pairs (2, 4, 6), chacun ayant une chance équivalente d’être tiré.

 

• On lance deux dés équilibrés et l'on calcule la somme des deux résultats.

  Calculer la probabilité d'obtenir 8 sachant qu'un dé au moins possède un résultat supérieur ou égal à 5.

Solution

Notons $X_{1}$ et $X_{2}$ les résultats des deux dés. On demande donc d'évaluer $P(X_{1}+X_{2}=8\mid (X_{1}\geq 5)\cup (X_{2}\geq 5))$.

On a $P(X_{1}\geq 5\cup X_{2}\geq 5)=P(X_{1}\geq 5)+P(X_{2}\geq 5)-P(X_{1}\geq 5\cap X_{2}\geq 5)=P(X_{1}\geq 5)+P(X_{2}\geq 5)-P(X_{1}\geq 5)P(X_{2}\geq 5)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}}{\frac {1}{3}}={\frac {5}{9}}$ car les lancers sont indépendants.

Ensuite, pour le calcul de $P(X_{1}+X_{2}=8\cap (X_{1}\geq 5\cup X_{2}\geq 5))$, ce résultat n'apparait que pour 4 couples ((2, 6), (3, 5), (5, 3) et (6, 2)), donc $P(X_{1}+X_{2}=8\cap (X_{1}\geq 5\cup X_{2}\geq 5))={\frac {4}{36}}={\frac {1}{9}}$.

Finalement, la probabilité recherchée est de ${\frac {1}{5}}$.

 

Fin de l'exemple

Formule pratique

Dans les problèmes, c’est souvent la probabilité conditionnelle qui est connue. On utilise alors :

Propriété

$P(A\cap B)=P_{B}(A)\times P(B)$.

Début de l'exemple

Exemple

Dans un lot de pièces pouvant avoir deux défauts L et E, 8 % ont E.

Parmi les pièces qui ont le défaut E, 25 % ont aussi le défaut L. Donner les probabilités suivantes :

• $P(E)$ ;
• $P_{E}(L)$ ;
• $P(L\cap E)$.

Solution

$P(E)=0{,}08$ et $P_{E}(L)=0{,}25$ donc $P(L\cap E)=P_{E}(L)\times P(E)=0{,}25\times 0{,}08=0{,}02$.

 

Fin de l'exemple

Indépendance de deux événements

Intuitivement, on dit que deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un n'a pas d'influence sur celle de l'autre.

La définition formelle est la suivante :

Définition

Deux événements A et B sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

Début de l'exemple

Exemples

1. Dans un lot de pièces pouvant avoir deux défauts L et E, 8 % ont E et 6 % ont L. Parmi les pièces qui ont le défaut E, 25 % ont aussi le défaut L.

   Les événements « avoir E » et « avoir L » sont-ils indépendants ?

2. On lance successivement deux dés équilibrés et on calcule la somme des deux résultats.
   • Les événements « obtenir 8 » et « obtenir 5 avec le premier dé » sont-ils indépendants ?
   • Les événements « obtenir 8 » et « obtenir un numéro pair avec le premier dé » sont-ils indépendants ?

Solution

Dans ces trois cas, les deux événements sont dépendants. En effet :

1. $P(L\cap E)=0{,}02$ (cf. exemple précédent) , tandis que $P(L)\times P(E)=0{,}08\times 0{,}06=0{,}0048$, ou plus directement : $P_{E}(L)=0{,}25$ tandis que $P(L)=0{,}06$.
2. On peut obtenir 8 de 5 façons (équiprobables) : $2+6=3+5=4+4=5+3=6+2$.
   • $P(X_{1}=5\mid X_{1}+X_{2}=8)={\frac {1}{5}}$, tandis que $P(X_{1}=5)={\frac {1}{6}}$.
   • $P(X_{1}{\text{ pair}}\mid X_{1}+X_{2}=8)={\frac {3}{5}}$, tandis que $P(X_{1}{\text{ pair}})={\frac {1}{3}}$.

 

Fin de l'exemple