Probabilités sur les ensembles finis/Exercice/Probabilités conditionnelles
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| Exercice 8 | |||
| Leçon : Probabilités sur les ensembles finis | |||
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Cet exercice est de niveau 12. |
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Probabilités sur les ensembles finis/Exercice/Probabilités conditionnelles », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Sommaire |
[modifier] Test de dépistage
On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
Un test de dépistage d'une certaine maladie a les caractéristiques suivantes :
- le test appliqué à un malade est positif dans 90% des cas,
- le test appliqué à une personne saine est négatif dans 70% des cas.
On choisit au hasard une personne dans une population dont les deux tiers sont malades, et on lui fait subir le test.
On notera les événements :
- M : « la personne est malade »,
- P : « le test est positif »,
- S : « la personne est saine »,
- N : « le test est négatif ».
1. Faire un arbre pondéré de probabilités
- et traduire les données de l'énoncé en termes de probabilités (éventuellement conditionnelles).
2. Calculer la probabilité que le test soit positif pour la personne choisie.
3. Calculer la probabilité que le test donne une fausse idée de l'état de santé de la personne.
4 Calculer la valeur prédictive du test 
- et interpréter ce nombre.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?
[modifier] Résultat au bac
On considère un établissement scolaire de 2000 élèves,
regroupant à la fois des collégiens et des lycéens.
19 % de l'effectif total est en classe de Terminale.
Parmi ces élèves de Terminale, 55% sont des filles.
L'année considérée, le taux de réussite au baccalauréat dans cet établissement a été de 85%.
Parmi les candidats ayant échoué, la proportion de filles a été de 
.
1. Compléter le tableau des effectifs suivant :
| Élèves de Terminale | Garçons | Filles | Total |
|---|---|---|---|
| Réussite au bacccalauréat | |||
| Échec au bacccalauréat | 24 | ||
| Total | 380 |
Après la publication des résultats, on choisit au hasard un élève
dans l'ensemble des élèves de Terminale.
On considère les événements suivants :
- G : "L'élève est un garçon" ; on note
l'événement contraire de G ;
- R : "L'élève a obtenu son baccalauréat" ; on note
l'événement contraire de R.
2. Définir par une phrase les événements suivants :
Dans la suite des questions, on donnera les résultats sous forme
de nombres décimaux arrondis à 10 − 2.
3. Calculer les probabilités des événements suivants :
4. Montrer que la probabilité, arrondie à 10 − 2, que l'élève soit une fille,
sachant qu'elle a obtenu son baccalauréat, est égale à 0,57.
[modifier] Sondage
Dans cet exercice, on demande les valeurs exactes des probabilités,
soit sous forme décimale exacte, soit sous forme fractionnaire.
Un centre commercial possède deux magasins de chaussures A et B.
Le magasin A vend trois fois plus de chaussures que le magasin B.
Un enquêteur d'un institut de sondage s'intéresse à un modèle de chaussures C.
Le magasin A réalise 3% du nombre de ses ventes avec ce modèle.
Le magasin B réalise 5% du nombre de ses ventes avec ce modèle.
L'enquêteur interroge au hasard un client ayant acheté des chaussures.
On note A l'événement : la paire de chaussures a été achetée au magasin A.
On note B l'événement : la paire de chaussures a été achetée au magasin B.
On note C l'événement : la paire de chaussures est un modèle C.
1. Donner grâce à l'énoncé 
et 
.
2. Construire un arbre de probabilités à deux étages et compléter entièrement
- cet arbre avec des probabilités.
3. Calculer la probabilité que le client ait acheté un modèle C.
4. Calculer la probabilité que, sachant que le client a acheté un modèle C,
- il provienne d'un magasin A.
[modifier] Résultat au bac 2
On considère un établissement scolaire de 2000 élèves, regroupant à la fois des collégiens et des lycéens.
19 % de l'effectif total est en classe de Terminale. Parmi ces élèves de Terminale, 55% sont des filles.
L'année considérée, le taux de réussite au baccalauréat dans cet établissement a été de 85%.
Parmi les candidats ayant échoué, la proportion de filles a été de .
1. Construire un tableau à double entrée résumant les données en terminale.
Après la publication des résultats, on choisit au hasard un élève dans l'ensemble des élèves
de Terminale.
On considère les événements suivants :
- G : "L'élève est un garçon"
- R : "L'élève a obtenu son baccalauréat"
On donnera les résultats sous forme de nombres décimaux arrondis à 10 − 2.
2. Calculer les probabilités des événements 
, 
et 
.
3 Les événements G et R sont-ils indépendants ? Interpréter la réponse.
4. Calculer la probabilité que l'élève soit un garçon sachant qu'il a obtenu son baccalauréat.
[modifier] Jetons et sac
On pioche au hasard un jeton dans un sac contenant 4 jetons verts et 3 jetons jaunes.
Puis on pioche au hasard un second jeton dans le même sac, sans avoir remis le premier.
On note A l'événement "le premier jeton pioché est vert".
On note B l'événement 'le second jeton pioché est vert".
a) Construire un arbre de probabilités.
b) Calculer p(B) en utilisant la formule des probabilités totales.
c) Sachant que l'on a tiré un jeton vert au second tirage,
- calculer la probabilité que l'on en ait tiré un vert également au premier tirage.
d) On considère l'expérience aléatoire consistant en l'ensemble des deux tirages
et dont le résultat est la couleur du second jeton.
On répète n fois cette expérience, et on note Cn l'événement "on n'a obtenu aucun jeton vert".
Quelle est la nature de la suite (Cn) ? Est-elle convergente ?
