Polynôme/Racines d'un polynôme

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**Racines d'un polynôme**
Leçon : Polynôme

Chapitre 4
Chap. préc. :	Dérivation formelle

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Polynôme/Racines d'un polynôme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définition : Racine d'un polynôme

Soient $P\in \mathbb K[X]\,$ et $\alpha\in \mathbb K\,$ .
$\alpha\,$ est une racine de $P\,$ si, et seulement si, $P(\alpha) = 0\,$ .

Remarquez que déterminer les racines de $P\,$ revient à résoudre l'équation $P(x) = 0\,$ dans le corps $\mathbb K\,$ .Par exemple, les racines de $X^2 + 1\,$ sont $\pm i\,$ dans $\mathbb C\,$ , alors qu'elles n'existent pas dans $\mathbb Q\,$ ou $\mathbb R\,$ .Enfin, dans $\mathbb Z/2\mathbb Z\,$ , ce polynôme n'a qu'une racine qui est 1.

Un des principaux intérêts de déterminer les racines d'un polynôme est de permettre sa factorisation, grâce à la propriété suivante :

Théorème

Soit $P\in \mathbb K[X]\,$ .

$\alpha\in \mathbb K\,$ est une racine de $P\,$ si, et seulement si, $(X-\alpha)\,$ divise $P\,$ .
$\alpha_1\ne \alpha_2 \ne \cdots \ne \alpha_r\in\mathbb K\,$ sont des racines de $P\,$ si, et seulement si, $\prod_{i=1}^r (X-\alpha_i)= (X-\alpha_1)(X-\alpha_2)\ldots(X-\alpha_r)\,$ divise $P\,$ .

Démonstration

On effectue la division euclidienne de $P\,$ par $(X-\alpha)\,$ :
$P = Q(X-\alpha) + R \mathrm{\;avec\;} \deg R < \deg (X-\alpha) \Rightarrow R \mathrm{\;est\;constant}\,$ .

On évalue en $\alpha\,$ (c'est-à-dire "on remplace $X\,$ par $\alpha\,$ ") :

$0 = P(\alpha) = Q(\alpha)(\alpha-\alpha) + R(\alpha) = R(\alpha) \,$

mais comme $R\,$ est constant, on a donc $R = 0 \Rightarrow (X-\alpha)|P\,$ .

On montre facilement que les $(X-\alpha_i)\,$ sont deux à deux premiers entre eux, puisque les $\alpha_i\,$ sont distincts (par exemple avec une relation de Bézout : $\frac{1}{\alpha_j-\alpha_i}\left((X-\alpha_i)-(X-\alpha_j)\right) = 1 \;\forall i\ne j \in [1;r]\,$ ) . Le premier point permet alors de conclure.

On en déduit ce Corollaire souvent utile :

Corollaire

Tout polynôme non nul de degré $n\,$ admet au plus $n\,$ racines.

Cela équivaut à :

Si un polynôme de degré au plus $n\,$ a au moins $n+1\,$ racines, alors ce polynôme est nul.

Nous admettrons le Théorème suivant (souvent appelé "Théorème Fondamental de l'Algèbre" mais qu'on ne peut démontrer qu'en passant par l'Analyse) :

Théorème de D'Alembert-Gauss

Tout polynôme a coefficients dans $\C\,$ a toutes ses racines dans $\C\,$ .

Ce Théorème n'est pas vrai si on remplace $\C\,$ par d'autres corps (voyez l'exemple ci-dessus). On dit que $\C\,$ est un corps algébriquement clos.

Définition : Multiplicité d'une racine

Soit $P\in \mathbb K[X]-\{0\}\,$ et soit $\alpha\in \mathbb K\,$ une racine de $P\,$ .

On dit que $\alpha\,$ est une racine de multiplicité $n\in\N\,$ si, et seulement si, $(X-\alpha)^n\,$ divise $P\,$ mais $(X-\alpha)^{n+1}\,$ ne divise pas $P\,$ .
Si $\alpha\,$ est une racine de multiplicité au moins égale à 2, on parle de racine multiple.

L'ordre de multiplicité se caractérise par la propriété suivante :

Critère de racines multiples

Soit $a\,$ une racine du polynôme $P\,$ . On a alors équivalence entre les trois propositions.

$P\,$ est divisible par $(X-a)^k\,$ et pas par $(X-a)^{k+1}\,$
$\exists Q\in \mathbb K[X] \;|\; P = (X-a)^k Q\,$ et $Q(a) \neq 0\,$
$P(a) = P'(a) = \ldots = P^{(k-1)}(a) = 0\,$ et $P^{(k)}(a) \neq 0\,$

L'entier $k\,$ est alors appelé ordre de multiplicité de $a\,$ .

Démonstration

On démontre l'équivalence en prouvant que (1) implique (2), que (2) implique (3) et que (3) implique (1).

$(1) \Rightarrow (2)\,$ :

Si $P\,$ est divisible par $(X-a)^k\,$ et pas par $(X-a)^{k+1}\,$ , il existe $Q\,$ tel que $P = (X-a)^k Q\,$ . Si $Q(a) = 0\,$ , $Q\,$ est divisible par $X-a\,$ , et $P\,$ serait alors divisible par $(X-a)^{k+1}_,$ : absurde.

$(2) \Rightarrow (3)\,$ :

Si $P = (X-a)^k Q\,$ et $Q(a) \neq 0\,$ , alors par récurrence, on peut montrer qu'il existe des polynômes $Q_i\,$ pour $i\,$ entre $0\,$ et $k\,$ tels que :

$\forall i \in [0;k] P^{(i)} = (X-a)^{k-i} Q_i$ et $Q_i(a) \neq 0$

En effet, c'est évident pour $i=0\,$ , et si c'est vrai pour $i<k\,$ , alors :

$P^{(i+1)} = (k-i)(X-a)^{k-i-1} Q_i + (X-a)^{k-i} Q'_i\,$ .

On trouve alors la formule de récurrence : $Q_{i+1} = (k-i)Q_i + (X-a)Q'_i\,$

Ainsi, on trouve bien $P(a) = P'(a) = \ldots = P^{(k-1)}(a) = 0$ et $P^{(k)}(a) \neq 0$ .

$(3) \Rightarrow (1)\,$ :

Il suffit d'utiliser la formule de Taylor pour les polynômes :

$P = \sum_{i=0}^n \frac{P^{(i)} (a)}{i!} (X-a)^i = \sum_{i=k}^n \frac{P^{(i)} (a)}{i!} (X-a)^i = \sum_{i=0}^{n-k} \frac{P^{(i+k)} (a)}{(i+k)!} (X-a)^{i+k}$ .

La factorisation par $(X-a)^k\,$ est alors évidente.

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