Nombre complexe/Utilisation des complexes en géométrie

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**Utilisation des complexes en géométrie**
Leçon : Nombre complexe

Chapitre 9
Chap. préc. :	Détermination d'ensembles de points
Chap. suiv. :	Formules de base (13)

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Nombre complexe/Utilisation des complexes en géométrie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Écriture complexe d'une transformation géométrique

[modifier] Écriture complexe d'une transformation géométrique

Définition

Une transformation du plan F transforme chaque point M en son image M'.

Aux points M et M', on associe respectivement leurs affixes $z$ et $z'$ .

L'écriture complexe de la transformation F est

$z'=f(z)\,$

où $f$ est la fonction $\C \longrightarrow \C$ qui a z associe z'.

[modifier] Écriture complexe d'une translation

Illustration de la définition

Propriété

L'écriture complexe d'une translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ est :

$z' = z + b\,$

où $b\,$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{u}$

Démonstration

On a $z' = z + b\,$ avec les points $(M;M')\,$ d'affixes respectives $(z;z')\,$ et $\overrightarrow{u}$ d'affixe $b\,$ .
On a donc $z' - z = b\,$ . Or d'après les propriétés géométriques, $z' - z\,$ est l'affixe de $\overrightarrow{MM'}$ .
D'où $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{u}$
Nous sommes bien en présence d'une translation.

Translation

Déterminer l'affixe $z_B\,$ de l'image $B$ du point $A\,$ d'affixe $z_A = -1 + 2i\,$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}\binom{3}{-1}$ .

$z_B = z_A + 3 - i\,$ .

donc

$z_B = -1 + 2i + 3 - i = 2 + i\,$

L'affixe du point $B$ est donc $z_B = 2 + i\,$

[modifier] Écriture complexe d'une rotation

Illustration de la définition

Propriété

L'écriture complexe d'une rotation de centre O et de d'angle $θ$ est :

z' = e i θ z

Dans le cas d'une rotation de centre Ω d'affixe ω quelconque, il suffit d'opérer une première translation de $\overrightarrow{\mathrm{\Omega O}}$ (c'est-à-dire ajouter -ω) pour « amener » le système à l'origine O, d'effectuer la rotation comme ci-dessus, puis de translater de $\overrightarrow{\mathrm{O \Omega}}$ (ajouter ω) pour « ramener » le système à son point initial.

Propriété

L'écriture complexe d'une rotation de centre Ω d'affixe ω et de d'angle $θ$ est :

$z' = e^{i\theta} (z-\omega) + \omega\,$

Démonstration

On a $z' - \omega = e^{(i\alpha)} (z - \omega)\,$ avec les points $(\Omega; M; M')\,$ d'affixes respectives $(\omega; z; z')\,$ et $\alpha\,$ l'angle formé par le couple $\left(\overrightarrow{\Omega M} , \overrightarrow{\Omega M'}\right)$ .
On a donc $\frac{z' - \omega}{z - \omega} = e^{(i\alpha)}$ .
Le module de $\left|\frac{z' - \omega}{z - \omega}\right| = \left|e^{(i\alpha)}\right|$ devient $\frac{\|\overrightarrow{\Omega M'}\|}{\|\overrightarrow{\Omega M}\|} = 1$ d'où $\|\overrightarrow{\Omega M}\| = \|\overrightarrow{\Omega M'}\|$
L'argument de $\arg\left(\frac{z' - \omega}{z - \omega}\right) = \arg\left(e^{(i\alpha)}\right)$ devient $\left(\overrightarrow{\Omega M} , \overrightarrow{\Omega M'}\right) = \alpha + 2k\pi$ .
Nous sommes bien en présence d'une rotation.

Exemple de transformations géométriques : Rotation

Déterminer l'image $B\,$ (d'affixe $z_B\,$ ) du point $A\,$ (d'affixe $z_A = 1 + 2i\,$ )
par la rotation d'angle $\frac{2\pi}{3}$ et de centre $\Omega\,$ (d'affixe $\omega = -1 + i\,$ ).
On a $z' - \omega = e^{(i\alpha)} (z - \omega)\,$ où on remplace les inconnues par leur valeur.
D'où $z_B - 1 + i = e^{(\frac{2i\pi}{3})} (1 + 2i + 1 - i)$
$\begin{matrix} z_B &=& \left(\frac{-1}{2}\right) + \left(\frac{i\sqrt{3}}{2}\right) \times (1 + 2i + 1 - i) + 1 - i \\ \ &=& \left(\frac{-1}{2}\right) + \left(\frac{i\sqrt{3}}{2}\right) \times (2 + i) + 1 - i \\ \ &=& -1 - \frac{i}{2} + i\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - i \\ \ &=& \frac{-\sqrt{3}}{2} + i \left(\frac{-1}{2} - 1 + \sqrt{3}\right) \\ \ &=& \frac{-\sqrt{3}}{2} + i \left(\frac{-3 + 2\sqrt{3}}{2}\right) \end{matrix}$

Donc l'affixe du point $B$ est $z_B = \frac{-\sqrt{3}}{2} + i \left(\frac{-3 + 2\sqrt{3}}{2}\right)$ .

[modifier] Écriture complexe d'une homothétie

Illustration de la définition

Propriété

L'écriture complexe d'une homothétie de centre O et de rapport k est :

z' = k z

De la même manière que pour la rotation, pour une homothétie de centre Ω d'affixe ω quelconque, il suffit d'opérer une première translation de $\overrightarrow{\mathrm{\Omega O}}$ pour « amener » le système à l'origine O, d'effectuer l'homothétie comme ci-dessus, puis de translater de $\overrightarrow{\mathrm{O \Omega}}$ pour « ramener » le système à son point initial.

Propriété

L'écriture complexe d'une homothétie de centre Ω d'affixe ω et de rapport k est :

$z' = k(z-\omega)+\omega\,$

Démonstration

$h\,$ est l'homothétie de centre $\Omega\,$ et de rapport $k\,$ , $M' = h(M)\,$ équivaut à $\overrightarrow{\Omega M'} = k\overrightarrow{\Omega M}\,$ .
On note $z\,$ et $z'\,$ les affixes respectives de $M\,$ et $M'\,$ , l'affixe de $\overrightarrow{\Omega M'}\,$ est $z'-\omega\,$ , celle de $k\overrightarrow{\Omega M}\,$ est $k(z - \omega)\,$ . Donc $M' = h(M)\,$ équivaut à $z'-\omega = k(z-\omega)\,$ .

Homothétie

Déterminer l'affixe $z_B\,$ de $B$ , image du point $A\,$ d'affixe $z_A = -i\,$
par l'homothétie de centre $\Omega\,$ d'affixe $\omega = -2 - 3i\,$ et de rapport $k = 5\,$

On a $z' - \omega = k(z - \omega)\,$ d'où :

$z_B + 2 + 3i = 5(-i + 2 + 3i)\,$

$\begin{matrix}z_B &=& 5(-i + 2 + 3i) - 2 - 3i \\ \ &=& 5(2 + 2i) - 2 - 3i \\ \ &=& 10 + 10i - 2 - 3i \\ \ &=& 8 + 7i\end{matrix}$

Donc l'affixe du point $B\,$ est $z_B = 8 + 7i\,$

[modifier] Transformation géométrique correspondant à la multiplication complexe

Si l'on utilise l'écriture exponentielle, on voit tout de suite que le produit de deux complexes correspond à l'association d'une homothétie et d'une rotation de centre O. En effet, si l'on prend le point A₁ d'affixe $z_1 = k_1 \cdot e^{i\theta_1}$ et le point A₂ d'affixe $z_2 = k_2 \cdot e^{i\theta_2}$ , on a

$z_1 \cdot z_2 = k_1(e^{i\theta_1} z_2) = k_2(e^{i\theta_2} z_1)$

qui est

soit la transformation du point A₂ par une rotation de centre O et d'angle θ₁ associé à une homothétie de centre O et de rapport k₁ ;
soit la transformation du point A₁ par une rotation de centre O et d'angle θ₂ associé à une homothétie de centre O et de rapport k₂.

C'est donc une similitude plane directe.

[modifier] Similitude plane quelconque

L'étude d'une similitude plane quelconque dépasse le cadre du niveau de la leçon. Nous n'étudierons ici que la similitude plane directe, l'étude d'une similitude plane indirecte sera guidée par l'étude de similitudes planes directes.

La formule générale d'une similitude plane directe est $z' = az + b\,$ avec $(a;b) \in{\mathbb{C}}^2$ . Nous pouvons donc noter que les translations, les rotations et les homothéties sont des similitudes planes directes particulières.

La formule générale d'une similitude plane indirecte est $z' = a \bar z + b$ avec $(a;b) \in{\mathbb{C}}^2$ .

[modifier] Un problème de géométrie

Illustration du problème

Exemple de transformations géométriques : Problème de géométrie

Dans le repère des complexes, soient :

Le point $A\,$ d'affixe $z_A = 1 + i\sqrt{3}$
Le point $B\,$ d'affixe $z_B = 1 - i\sqrt{3}$
Le point $C'\,$ d'affixe $z_C' = 2i\,$ .

1. Calculer l'affixe du point $C\,$ tel que $C\,$ soit l'image de $C'\,$
par la rotation de centre $O\,$ (d'affixe $z_O = 0\,$ ) et d'angle $\frac{\pi}{2}$ On a $z_C - 0 = e^{(\frac{i\pi}{2})}(z_C' - 0)$ , d'où $z_C = 2i \times e^{(\frac{i\pi}{2})} = 2i \times \left (\cos\left(\frac{\pi}{2}\right ) + i \sin\left (\frac{\pi}{2}\right )\right ) = -2$ .

2. Représenter les points dans le plan des complexes dont la base orthonormée
directe est $(O, \vec u, \vec v)$ Faire le dessin.

3. Soit le triangle $(ABC)\,$

a. Calculer l'angle défini par le couple de vecteurs $(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB})$ .

On fait $\frac{z_A - z_C}{z_B - z_C} = \frac{1 + i\sqrt{3} + 2}{1 - i\sqrt{3} + 2} = \frac{(3 + i\sqrt{3})(3 + i\sqrt{3})}{(3 - i\sqrt{3})(3 + i\sqrt{3})} = \frac{9 + 6i\sqrt{3} - 3}{9 + 3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{(\frac{i\pi}{3})}$

b. Déterminer la nature du triangle $(ABC)\,$

L'angle défini par le couple de vecteurs $(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB})$ est $\frac{\pi}{3}$ , le triangle est équilatéral.

c. Déterminer le centre et le rayon du cercle $\Gamma\,$ circonscrit au triangle.

Le triangle étant équilatéral, le centre du cercle circonscrit est le centre de gravité
(on rappelle que les droites remarquables (médianes, médiatrices…) sont confondues).
Soit $I\,$ le milieu de $[AB]\,$ (centre de gravité de deux points aux coefficients égaux).
On a $z_I = \overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}) = \frac{1}{2}(z_B + z_A) = \frac{1}{2}(1 - i\sqrt{3} + 1 + i\sqrt{3}) = 1$
L'affixe du centre de gravité $G\,$ peut être calculé en définissant l'homothétie de centre $C\,$ et de rapport $\frac{2}{3}$
(d'après la définition du centre de gravité) qui transforme $I\,$ en $G\,$ .
On a $z_G = \frac{2}{3}(z_I - z_C) + z_C = \frac{2}{3}(1 + 2) - 2 = 2 - 2 = 0$
Donc $G\,$ est confondu avec $O\,$ .
Le rayon du cercle circonscrit est bien entendu la distance $OC\,$ , c'est-à-dire $|z_C - z_O| = 2\,$ .
Le cercle $\Gamma\,$ circonscrit au triangle est de centre $O\,$ et de rayon $2\,$ .

4. Soit $r\,$ la rotation de centre $B\,$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ .

a. Quelles sont les images des points $(A, B, C)\,$ par $r\,$ . (on utilisera les
notations $(A', B', C')\,$ )

$z_B' = z_B\,$ car c'est le centre (le point invariant) de la rotation.
$\begin{matrix}z_A' &=& e^{(\frac{i\pi}{3})} (z_A - z_B) + z_B \\ \ &=& \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + i\sqrt{3} - 1 + i\sqrt{3}) + 1 - i\sqrt{3} \\ \ &=& i\sqrt{3} - 3 + 1 - i\sqrt{3} = 1 + -2\\ \ &=& z_C\end{matrix}$
De même, $z_C' = -2 - 2i\sqrt{3}$

On peut remarquer que l'image du triangle équilatéral $(ABC)\,$ par la rotation $r\,$ reste un triangle équilatéral $(AB'C')\,$ .

b. Quelle est l'image de $\Gamma\,$ par $r\,$

L'image d'un cercle par une rotation est un cercle de même rayon, il suffit de déterminer l'affixe du centre $\Omega_2\,$ de l'image de $\Gamma\,$ .
On a $\omega_2 = e^{(\frac{i\pi}{3})} (z_0 - z_B) + z_B = \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(- 1 + i\sqrt{3}) + 1 - i\sqrt{3} = - 1 - i\sqrt{3}$
Le cercle $\Gamma_2\,$ de centre $\Omega_2\,$ d'affixe $\omega_2 = - 1 - i\sqrt{3}$ et de rayon $2\,$ est l'image de $\Gamma\,$ par la rotation $r\,$

c. Déterminer l'antécédent de $\Gamma\,$ par $r\,$

De la même manière, mais il faut faire attention à bien reconnaître l'image et l'antécédent.
On a $z_0 - z_B = e^{(\frac{i\pi}{3})} (\omega_3 - z_B)$ .
Grâce aux propriétés de l'exponentielle, on a $\omega_3 = e^{(\frac{-i\pi}{3})} (-z_B) + z_B$ . Au final, $\omega_3 = 2\,$
Le cercle $\Gamma_3\,$ de rayon $2\,$ et de centre $\Omega_3\,$ d'affixe $\omega_3\,$ est l'antécédent de $\Gamma\,$ par la rotation $r\,$ .