Nombre complexe/Utilisation des complexes en géométrie

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**Utilisation des complexes en géométrie**
Leçon : Nombre complexe

Chapitre 9
Chap. préc. :	Détermination d'ensembles de points
Chap. suiv. :	Formules de base (13)

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Nombre complexe/Utilisation des complexes en géométrie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Ecriture complexe d'une transformation géométrique
- 1.1 Ecriture complexe d'une translation

[modifier] Ecriture complexe d'une transformation géométrique

Définition

Une transformation du plan F transforme chaque point M en son image M'.

Aux points M et M', on associe respectivement leurs affixes $z$ et $z'$ .

L'écriture complexe de la transformation F est

$z'=f(z)\,$

où $f$ est la fonction $\C \longrightarrow \C$ qui a z associe z'.

[modifier] Ecriture complexe d'une translation

Illustration de la définition

Propriété

L'écriture complexe d'une translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ est :

$z' = z + b\,$

où $b\,$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{u}$

Démonstration

On a $z' = z + b\,$ avec les points $(M;M')\,$ d'affixes respectives $(z;z')\,$ et $\overrightarrow{u}$ d'affixe $b\,$ .
On a donc $z' - z = b\,$ . Or d'après les propriétés géométriques, $z' - z\,$ est l'affixe de $\overrightarrow{MM'}$ .
D'où $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{u}$
Nous sommes bien en présence d'une translation.

Translation

Déterminer l'affixe $z_B\,$ de l'image $B$ du point $A\,$ d'affixe $z_A = -1 + 2i\,$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}\binom{3}{-1}$ .

$z_B = z_A + 3 - i\,$ .

donc

$z_B = -1 + 2i + 3 - i = 2 + i\,$

L'affixe du point $B$ est donc $z_B = 2 + i\,$

[modifier] Rotations

Illustration de la définition

Propriété

L'écriture complexe d'une rotation de centre $ω$ et de d'angle $θ$ est :

$z' = e^{i\theta} (z-\omega) + \omega\,$

Démonstration

On a $z' - \omega = e^{(i\alpha)} (z - \omega)\,$ avec les points $(\Omega; M; M')\,$ d'affixes respectives $(\omega; z; z')\,$ et $\alpha\,$ l'angle formé par le couple $\left(\overrightarrow{\Omega M} , \overrightarrow{\Omega M'}\right)$ .
On a donc $\frac{z' - \omega}{z - \omega} = e^{(i\alpha)}$ .
Le module de $\left|\frac{z' - \omega}{z - \omega}\right| = \left|e^{(i\alpha)}\right|$ devient $\frac{\|\overrightarrow{\Omega M'}\|}{\|\overrightarrow{\Omega M}\|} = 1$ d'où $\|\overrightarrow{\Omega M}\| = \|\overrightarrow{\Omega M'}\|$
L'argument de $\arg\left(\frac{z' - \omega}{z - \omega}\right) = \arg\left(e^{(i\alpha)}\right)$ devient $\left(\overrightarrow{\Omega M} , \overrightarrow{\Omega M'}\right) = \alpha + 2k\pi$ .
Nous sommes bien en présence d'une rotation.

Exemple de transformations géométriques : Rotation

Déterminer l'image $B\,$ (d'affixe $z_B\,$ ) du point $A\,$ (d'affixe $z_A = 1 + 2i\,$ )
par la rotation d'angle $\frac{2\pi}{3}$ et de centre $\Omega\,$ (d'affixe $\omega = -1 + i\,$ ).
On a $z' - \omega = e^{(i\alpha)} (z - \omega)\,$ où on remplace les inconnues par leur valeur.
D'où $z_B - 1 + i = e^{(\frac{2i\pi}{3})} (1 + 2i + 1 - i)$
$\begin{matrix} z_B &=& \left(\frac{-1}{2}\right) + \left(\frac{i\sqrt{3}}{2}\right) \times (1 + 2i + 1 - i) + 1 - i \\ \ &=& \left(\frac{-1}{2}\right) + \left(\frac{i\sqrt{3}}{2}\right) \times (2 + i) + 1 - i \\ \ &=& -1 - \frac{i}{2} + i\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - i \\ \ &=& \frac{-\sqrt{3}}{2} + i \left(\frac{-1}{2} - 1 + \sqrt{3}\right) \\ \ &=& \frac{-\sqrt{3}}{2} + i \left(\frac{-3 + 2\sqrt{3}}{2}\right) \end{matrix}$

Donc l'affixe du point $B$ est $z_B = \frac{-\sqrt{3}}{2} + i \left(\frac{-3 + 2\sqrt{3}}{2}\right)$ .

[modifier] Homothéties

Illustration de la définition

Propriété

L'écriture complexe d'une homothétie de centre $ω$ et de rapport $k$ est :

$z' = k(z-\omega)+\omega\,$

Démonstration

$h\,$ est l'homothétie de centre $\Omega\,$ et de rapport $k\,$ , $M' = h(M)\,$ équivaut à $\overrightarrow{\Omega M'} = k\overrightarrow{\Omega M}\,$ .
On note $z\,$ et $z'\,$ les affixes respectives de $M\,$ et $M'\,$ , l'affixe de $\overrightarrow{\Omega M'}\,$ est $z'-\omega\,$ , celle de $k\overrightarrow{\Omega M}\,$ est $k(z - \omega)\,$ . Donc $M' = h(M)\,$ équivaut à $z'-\omega = k(z-\omega)\,$ .

Homothétie

Déterminer l'affixe $z_B\,$ de $B$ , image du point $A\,$ d'affixe $z_A = -i\,$
par l'homothétie de centre $\Omega\,$ d'affixe $\omega = -2 - 3i\,$ et de rapport $k = 5\,$

On a $z' - \omega = k(z - \omega)\,$ d'où :

$z_B + 2 + 3i = 5(-i + 2 + 3i)\,$

$\begin{matrix}z_B &=& 5(-i + 2 + 3i) - 2 - 3i \\ \ &=& 5(2 + 2i) - 2 - 3i \\ \ &=& 10 + 10i - 2 - 3i \\ \ &=& 8 + 7i\end{matrix}$

Donc l'affixe du point $B\,$ est $z_B = 8 + 7i\,$

[modifier] Similitude plane quelconque

L'étude d'une similitude plane quelconque n'est pas au programme du tronc commun, seuls les élèves suivant une spécialité mathématiques doivent connaître ces transformations. De plus, les élèves ne doivent connaître que la similitude plane directe, l'étude d'une similitude plane indirecte sera guidée par l'étude de similitudes planes directes.

La formule générale d'une similitude plane directe est $z' = az + b\,$ avec $(a;b) \in{\mathbb{C}}^2$ . Nous pouvons donc noter que les translations, les rotations et les homothéties sont des similitudes planes directes particulières.

La formule générale d'une similitude plane indirecte est $z' = a \bar z + b$ avec $(a;b) \in{\mathbb{C}}^2$ .

[modifier] Un problème de géométrie

Illustration du problème

Exemple de transformations géométriques : Problème de géométrie

Dans le repère des complexes, soient :

Le point $A\,$ d'affixe $z_A = 1 + i\sqrt{3}$
Le point $B\,$ d'affixe $z_B = 1 - i\sqrt{3}$
Le point $C'\,$ d'affixe $z_C' = 2i\,$ .

1) Calculer l'affixe du point  tel que  soit l'image de 
par la rotation de centre  (d'affixe ) et d'angle

On a $z_C - 0 = e^{(\frac{i\pi}{2})}(z_C' - 0)$ , d'où $z_C = 2i \times e^{(\frac{i\pi}{2})} = 2i \times \left (\cos\left(\frac{\pi}{2}\right ) + i \sin\left (\frac{\pi}{2}\right )\right ) = -2$ .

2) Représenter les points dans le plan des complexes dont la base orthonormée 
directe est

Faire le dessin.

3) Soit le triangle

  a) Calculer l'angle défini par le couple de vecteurs .

On fait $\frac{z_A - z_C}{z_B - z_C} = \frac{1 + i\sqrt{3} + 2}{1 - i\sqrt{3} + 2} = \frac{(3 + i\sqrt{3})(3 + i\sqrt{3})}{(3 - i\sqrt{3})(3 + i\sqrt{3})} = \frac{9 + 6i\sqrt{3} - 3}{9 + 3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{(\frac{i\pi}{3})}$

  b) Déterminer la nature du triangle

L'angle défini par le couple de vecteurs $(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB})$ est $\frac{\pi}{3}$ , le triangle est équilatéral.

  c) Déterminer le centre et le rayon du cercle  circonscrit au triangle.

Le triangle étant équilatéral, le centre du cercle circonscrit est le centre de gravité
(on rappelle que les droites remarquables (médianes, médiatrices…) sont confondues).
Soit $I\,$ le milieu de $[AB]\,$ (centre de gravité de deux points aux coefficients égaux).
On a $z_I = \overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}) = \frac{1}{2}(z_B + z_A) = \frac{1}{2}(1 - i\sqrt{3} + 1 + i\sqrt{3}) = 1$
L'affixe du centre de gravité $G\,$ peut être calculé en définissant l'homothétie de centre $C\,$ et de rapport $\frac{2}{3}$
(d'après la définition du centre de gravité) qui transforme $I\,$ en $G\,$ .
On a $z_G = \frac{2}{3}(z_I - z_C) + z_C = \frac{2}{3}(1 + 2) - 2 = 2 - 2 = 0$
Donc $G\,$ est confondu avec $O\,$ .
Le rayon du cercle circonscrit est bien entendu la distance $OC\,$ , c'est-à-dire $|z_C - z_O| = 2\,$ .
Le cercle $\Gamma\,$ circonscrit au triangle est de centre $O\,$ et de rayon $2\,$ .

4) Soit  la rotation de centre  et d'angle .

  a) Quelles sont les images des points  par . (on utilisera les 
notations )

$z_B' = z_B\,$ car c'est le centre (le point invariant) de la rotation.
$\begin{matrix}z_A' &=& e^{(\frac{i\pi}{3})} (z_A - z_B) + z_B \\ \ &=& \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + i\sqrt{3} - 1 + i\sqrt{3}) + 1 - i\sqrt{3} \\ \ &=& i\sqrt{3} - 3 + 1 - i\sqrt{3} = 1 + -2\\ \ &=& z_C\end{matrix}$
De même, $z_C' = -2 - 2i\sqrt{3}$

On peut remarquer que l'image du triangle équilatéral $(ABC)\,$ par la rotation $r\,$ reste un triangle équilatéral $(AB'C')\,$ .

  b) Quelle est l'image de  par

L'image d'un cercle par une rotation est un cercle de même rayon, il suffit de déterminer l'affixe du centre $\Omega_2\,$ de l'image de $\Gamma\,$ .
On a $\omega_2 = e^{(\frac{i\pi}{3})} (z_0 - z_B) + z_B = \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(- 1 + i\sqrt{3}) + 1 - i\sqrt{3} = - 1 - i\sqrt{3}$
Le cercle $\Gamma_2\,$ de centre $\Omega_2\,$ d'affixe $\omega_2 = - 1 - i\sqrt{3}$ et de rayon $2\,$ est l'image de $\Gamma\,$ par la rotation $r\,$

  c) Déterminer l'antécédent de  par

De la même manière, mais il faut faire attention à bien reconnaître l'image et l'antécédent.
On a $z_0 - z_B = e^{(\frac{i\pi}{3})} (\omega_3 - z_B)$ .
Grâce aux propriétés de l'exponentielle, on a $\omega_3 = e^{(\frac{-i\pi}{3})} (-z_B) + z_B$ . Au final, $\omega_3 = 2\,$
Le cercle $\Gamma_3\,$ de rayon $2\,$ et de centre $\Omega_3\,$ d'affixe $\omega_3\,$ est l'antécédent de $\Gamma\,$ par la rotation $r\,$ .