Nombre complexe/Représentation géométrique

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**Représentation géométrique**
Leçon : Nombre complexe

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Nombre complexe/Représentation géométrique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Pour comprendre les nombres complexes, il faut pouvoir les visualiser dans un espace que nous connaissons au préalable. Le problème est que ces nombres complexes n'ont pas de représentation physique, nous ne pouvons par exemple les ordonner sur une règle, chose facile à faire pour les nombres réels.
Néanmoins, le plan complexe (appelé aussi plan d'Argand ou plan d'Argand-Cauchy) permet de résoudre ce problème.

[modifier] Affixe d'un point du plan

Définition

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on associe au point M de coordonnées (a;b)

son affixe, le nombre complexe z=a+ib. M est appelé image de $z\,$

On a ainsi une correspondance entre les nombres complexes et les points du plan, qui permet de représenter géométriquement les nombres complexes.

Dans le graphique ci-dessous, on assimile les nombres complexes à leurs images :

l'image M(4;4) et son affixe le nombre complexe z = 4 + 4i

Plus généralement :
- La partie réelle du nombre complexe est l'abscisse de son image
- Sa partie imaginaire est l'ordonnée de son image

Graphiquement, on obtient :

[modifier] Affixe d'un vecteur

Définition

Au vecteur $\textstyle{\vec{u}}$ de coordonnées $\begin{array}{|l}x\\y\\\end{array}$ , on associe son affixe $z=x+iy\,$

[modifier] Propriétés de l'affixe

[modifier] Affixe d'un vecteur

Propriété

L'affixe d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est : $z_{\overrightarrow{\scriptstyle AB}}=z_B-z_A$ .

Exemple

Dans la figure ci-contre, on a les points $A (1;1)$ et $B (4;3)$ .

L'affixe d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est :

$z_{\overrightarrow{\scriptstyle AB}}=z_B-z_A=(4+3i)-(1+i)=3+2i$

En effet les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont:

$\begin{array}{|l}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{array}=\begin{array}{|l}4-1\\3-1\end{array}=\begin{array}{|l}3\\2\end{array}$

[modifier] Affixe d'un milieu

Propriété

L'affixe du milieu $I\,$ d'un segment $[AB]\,$ est $z_I=z_{\overrightarrow{\scriptstyle OI}}=\frac{z_B+ z_A}2$ .

Exemple

Toujours dans la figure ci-contre dont les points A et B ont pour coordonnées: $A (1;1)$ et $B (4;3)$ .

$\overrightarrow{OI}$ , l'affixe du milieu du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est :

$z_{\overrightarrow{\scriptstyle OI}}=\frac{z_B+z_A}{2}=\frac{(4+3i)+(1+i)}{2}=\frac{5+4i}{2}=\frac{5}{2}+2i$

Les coordonnées de $\overrightarrow{OI}$ sont:

$\begin{array}{|l}\displaystyle{\frac{x_B+x_A}{2}}\\\displaystyle{\frac{y_B+y_A}{2}}\end{array}=\begin{array}{|l}\displaystyle{\frac{4+1}{2}}\\\displaystyle{\frac{3+1}{2}}\end{array}=\begin{array}{|l}\displaystyle{\frac{5}{2}}\\2\end{array}$

[modifier] Parallélisme et alignement

Propriété

Deux droites $(AB)\,$ et $(CD)\,$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement s'il existe un nombre réel $k\in\R\backslash\{0\}$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\cdot\overrightarrow{CD}$ , c'est-à-dire qu'il existe un $k=\frac{z_B-z_A}{z_D-z_C}$ avec $\Im(k)=0\,$ .