Nombre complexe/Opérations sous forme algébrique

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**Opérations sous forme algébrique**
Leçon : Nombre complexe

Chapitre 2
Chap. préc. :	Introduction de i
Chap. suiv. :	Représentation géométrique

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Nombre complexe/Opérations sous forme algébrique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Les nombres complexes respectent les règles valables pour les quatre opérations sur les nombres réels (addition, soustraction, multiplication et division).

Sommaire

1 Égalité de deux nombres complexes
2 Addition
- 2.1 Exemples
3 Multiplication
- 3.1 Exemples
- 3.2 Puissances de i
4 Division
5 Exemple de manipulation des complexes : résolution des équations du second degré

[modifier] Égalité de deux nombres complexes

Propriété

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.

Ceci signifie, pour deux nombres complexes $z_1=x_1+iy_1\,$ et $z_2=x_2+iy_2\,$ ,

$z_1=z_2\,$ si et seulement si $\begin{cases}x_1=x_2\\y_1=y_2\end{cases}$

[modifier] Addition

Propriété

Pour additionner deux nombres complexes sous forme algébrique, on additionne :

leurs parties réelles entre elles
leurs parties imaginaires entre elles

Pour $z_1=x_1+iy_1\,$ et $z_2=x_2+iy_2\,$ , on a $z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)\,$

[modifier] Exemples

Voir les exercices sur : Addition sous forme algébrique.

Addition de deux nombres complexes

Soient $z_1=-2+5i\,$ et $z_2=1-3i\,$ .

On a :

$\begin{align} z_1+z_2&=(-2+5i)+(1-3i)\\ &=(-2+1)+i(5-3)\\ &=-1+2i \end{align}$

La soustraction se fait de la même manière :

Voir les exercices sur : Soustraction sous forme algébrique.

Soustraction de deux nombres complexes

Soient $z_1=-2+5i\,$ et $z_2=1-3i\,$ .

On a :

$\begin{align} z_1-z_2&=(-2+5i)-(1-3i)\\ &=(-2-1)+i(5-(-3))\\ &=-3+8i \end{align}$

[modifier] Multiplication

Propriété

La multiplication de deux nombres complexes se fait en appliquant la règle de distributivité de la multiplication sur l'addition.

Pour $z_1=x_1+iy_1\,$ et $z_2=x_2+iy_2\,$ , on a :

$z_1\times z_2=(x_1 + iy_1)\times(x_2 + iy_2)=(x_1x_2)+(i^2y_1y_2)+i(x_1y_2 + y_1x_2)$

On sait de plus que $i^2=-1\,$

Donc $z_1\times z_2=(x_1x_2)-(y_1y_2)+i(x_1y_2+y_1x_2)$

Cette formule n'a pas à être retenue par cœur, il vaut mieux refaire le calcul dans chaque exemple.

[modifier] Exemples

Voir les exercices sur : Multiplication de nombres complexes.

Multiplication de deux nombres complexes

Soient $z_1 = -2 + 5i\,$ et $z_2 = 1 - 3i\,$ .
On a

$\begin{align}z_1\times z_2&=(-2+5i)\times(1-3i)\\ &=(-2\times1)+i^2(5\times-3)+i(-2\times-3+1\times5)\\ &=-2+15+i(6+5)= 13+11i\end{align}$

[modifier] Puissances de i

La propriété de i que nous allons voir ici est assez simple mais il ne faut pas l'oublier pour les calculs par la suite.
Sachant que $i^2=-1\,$ , calculer les autres puissances de $i$ et représenter les images de $i$ dans le plan complexe.

$i^0=+1\,$
$i^1=+i\,$
$i^2=-1\,$
$i^3=i^2\times i=-i$
$i^4=i^2\times i^2=+1$
$i^5=i^4\times i=+i$
$i^6=i^4\times i^2=-1$

...

$i^n=i^{4q}\times i^r=i^r$

avec n = 4q+r : q étant la partie entière du quotient n/4 et r le reste de ce quotient.
Si n est un entier, r ne peut avoir que quatre valeurs différentes ( 0, 1, 2 et 3), et ainsi i ⁿ ne peut avoir que quatre valeurs :

+1 pour r = 0,
+ i pour r = 1,
-1 pour r = 2,
- i pour r = 3.

[modifier] Division

Division de deux nombres complexes

Soient $z_1=-2+5i\,$ et $z_2=1-3i\,$ .

On a $\frac{z_1}{z_2}=\frac{-2+5i}{1-3i}$

On est ici dans une impasse car il faudrait remonter i au numérateur

La division de deux nombres complexes sous forme algébrique utilise la notion de complexe conjugué, qui fait l'objet d'un chapitre spécifique.

[modifier] Exemple de manipulation des complexes : résolution des équations du second degré

Les nombres complexes ont été inventés car ils permettent (entre autres) de résoudre toutes les équations du second degré, même celles qui ont un discriminant négatif.

Exemple

L'équation $5x^2+2x+1=0\,$ a pour discriminant :