Nombre complexe/Module et argument

Une page de Wikiversité.


Module et argument
Nuvola apps edu mathematics-p.svg
Chapitre 5
Leçon : Nombre complexe
Chap. préc. : Conjugué d'un nombre complexe
Chap. suiv. : Écriture exponentielle et trigonométrique


Icon falscher Titel.svg

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Nombre complexe : Module et argument
Nombre complexe/Module et argument », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Module d'un nombre complexe

Définition

Le module d'un nombre complexe \left| z \right| est la distance qui sépare l'origine du repère complexe au point M d'affixe z.
De plus, pour z = x +iy\,, on a :

\left| z \right| = \sqrt{{x}^2 + {y}^2} = \sqrt{z \bar z}


Module of a complex number.svg
Démonstration

'

L'égalité |z| = \sqrt{{x}^2 + {y}^2} découle du théorème de Pythagore. De plus :
z \times \bar z = (x + iy)(x - iy) = {x}^2 + {y}^2, d'où \left| z \right| = \sqrt{z \bar z}



Théorème

La distance entre A et B, respectivement d'affixes zA et zB, est donnée par : AB = \| \overrightarrow{AB} \| = \left| z_B - z_A \right| = \sqrt{{(x_B- x_A)}^2 + {(y_B - y_A)}^2}


Démonstration

'

Soient deux points A et B respectivement d'affixe z_A = x_A + iy_A\, et z_B = x_B + iy_B\, on a :
AB = \| \overrightarrow{AB} \| = \left| z_B - z_A \right|
Or z_B - z_A = (x_B- x_A) + i(y_B - y_A)\,
D'où AB = \sqrt{{(x_B- x_A)}^2 + {(y_B - y_A)}^2}



Exemples d'utilisation du module : Distance de deux points

Calculer la distance AB\, où z_A = 5 - i\, et z_B = 3 + 4i\, sont les affixes des deux points.
AB = \left| z_B - z_A \right| = \left| (3 + 4i) - (5 - i) \right| = \left| -2 + 5i \right| = \sqrt{{-2}^2 + {5}^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}
La distance AB est donc \sqrt{29}

[modifier] Propriétés du module

Propriété

Les propriétés du module sont les mêmes que celles des normes vectorielles.

  • Opérations sur les modules :
    • \left| z_1 \times z_2 \right| = \left| z_1 \right| \times \left| z_2 \right|
    • \left| \frac {z_1} {z_2} \right| = \frac {\left| z_1 \right|} {\left| z_2 \right|}
    • \left| z_1 + z_2 \right| \le \left| z_1 \right| + \left| z_2 \right| (plus connue sous le nom d'inégalité triangulaire)


  • Module de l'opposé, du conjugué :
    • \left| -z \right| = \left| z \right|
    • \left| \bar z \right| = \left| z\right|

[modifier] Argument d'un nombre complexe non nul

Wikipedia-logo-fr.png
Wikipédia possède un article à propos de « Argument d'un nombre complexe ».


Définition

Soit z=a+bi\, un nombre complexe non nul.

  • Une mesure en radians \theta\, de l'angle (\vec u,\overrightarrow{OM}) est appelé argument de z.
  • On le note souvent arg(z)
  • L'argument est défini à 2π près.
On appelle argument principal celui qui est compris dans ] − π;π]

Exemple : Soit z = 32 + 12 i . Trouver 3 arguments de z, donner l'argument principal.

Argument of a complex number.svg


[modifier] Méthodes de calcul de l'argument

[modifier] Calcul avec cosinus et sinus

Si z=a+ib\,,

alors le module de z est |z|=r= \sqrt{a^2+b^2}

et en projetant sur les axes :

a=r \cos(\theta)\, ; b=r \sin(\theta)\,

donc :

Propriété
\cos(\theta)=\frac ar et \sin(\theta)=\frac br

Connaissant a et b, on peut donc calculer \cos(\theta)\, et \sin(\theta)\,

puis en déduire θ en "reconnaissant" les valeurs usuelles de cosinus et sinus.

Exemple :

Si z=1-i\,

alors r=\sqrt{2}\,

donc :

\cos(\theta)=\frac ar=\frac{\sqrt{2}}{2} et sin(\theta)=\frac br=-\frac{\sqrt{2}}{2}

donc on reconnait : \theta = -\frac{\pi}{4}.

[modifier] Calcul avec tangente

Si z=a+ib\,, alors :

\tan(\theta)=\frac ba

donc :

Propriété
\theta=\arctan \left (\frac ba \right )


L'argument est alors déterminé à π près, il faut décider entre θ et θ + π en utilisant le signe de a (généralement, on cherche la mesure principale, c'est celle qui est dans [-pi; < math > π] ):

  • si a>0\, alors θ est dans \left ]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}2 \right ]
  • si a=0\, alors si b > 0\, alors \theta =\frac{\pi}2 et si b<0\, alors \theta=-\frac{\pi}2
  • si a<0\, alors θ est dans \left ]-\pi;\frac{-\pi}2\right ]\cup \left ]\frac{\pi}2;\pi \right ]


Remarque : Une rapide représentation des complexes 1 + i, − 1 + i, − 1 − i et 1 − i sur le cercle trigonométrique permet de synthétiser les règles précédentes.
Remarque : Les calculatrices renvoient généralement l'angle dans \left ]-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right ] mais ce résultat doit être révisé suivant la règle ci-dessus. Notons qu'en électricité, l'argument est :

  • Inferieur ou égale à π / 2 pour les montages du premier ordre (RC ou RL).
  • Inferieur ou égale à π pour les montages du second ordre (RLC).
  • Inferieur ou égale à 3π / 2 pour les montages du troisième ordre.
  • Inferieur ou égale à 2π pour les montages du quatrième ordre.

    Il faut donc impérativement tenir compte des modifications des remarques précédentes, en particulier pour l'étude de la stabilité des systèmes bouclés (se référer aux cours d'automatique).
    Remarque: En électronique la phase est fonction de la fréquence du signal qui parcours le système.

[modifier] Forme trigonométrique

Définition

Soit z un nombre complexe non nul, de module r et d'argument θ,

on appelle forme trigonométrique de z l'écriture :
z=r(\cos(\theta)+i.\sin(\theta))\,

Exemple : La forme trigonométrique de z= 1-i\, est :

z=\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i.\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)

[modifier] Argument d'une différence

Propriété
  • Si A et B sont deux points distincts d'affixes respectives a et b.
alors arg(b-a)=(\vec {u}\ ;\overrightarrow{AB})
  • Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts d'affixes respectives a, b, c et d :

alors :

\arg(\frac{d-c}{b-a})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})


Crystal Clear action back.png Conjugué d'un nombre complexe
Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/Nombre_complexe/Module_et_argument »