Nombre complexe/Formules de base

Une page de Wikiversité.


Formules de base
Nuvola apps edu mathematics-p.svg
Chapitre 10
Leçon : Nombre complexe
Chap. préc. : Utilisation des complexes en géométrie
Chap. suiv. : Factorisation et linéarisation


Icon falscher Titel.svg

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Nombre complexe : Formules de base
Nombre complexe/Formules de base », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Binôme de Newton

L'ensemble \mathbb C des nombres complexes est un corps. Ainsi, on peut écrire la formule du binôme de Newton.


Théorème

Soit (a,b)\in \mathbb C^2, soit n \in \N.

(a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} a^k b^{n-k}


Démonstration

Les éléments a et b commutent car \mathbb C est un corps. La démonstration est alors la même que dans un anneau.

[modifier] Formule de Bernouilli

Théorème

Soit (a,b)\in \mathbb C^2, soit n \in \N^*.

a^n-b^n=(a-b) \cdot \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}


Démonstration

Soit (a,b)\in\mathbb C^2 :

\begin{align}(a-b) \cdot \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}&=\sum_{k=0}^{n-1} a^{k+1} b^{n-1-k}-\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k}\\ &=\sum_{k=1}^n a^k b^{n-k}-\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k}\\ &=a^n-b^n \end{align}

[modifier] Somme géométrique

Théorème

Soit z \in \mathbb C, soit (m,n) \in \N^2 tels que m \leq n.

  • si z=1\,, \sum_{k=m}^n z^k=n-m+1
  • si z \not =1\,, \sum_{k=m}^n z^k=\frac{z^{n+1}-z^m}{z-1}


Démonstration

Soit z \in \mathbb C\backslash\{1\}, soit (m,n) \in \N^2 tels que m \leq n.

\begin{align}\sum_{k=m}^nz^k&=z^m\cdot\sum_{k=0}^{n-m}z^k\\ &=\frac{z^m}{z-1}\cdot(z-1)\sum_{k=0}^{n-m}z^k 1^{n-m-k}\\ &=\frac{z^m}{z-1}(z^{n-m+1}-1)\\ &=\frac{z^{n+1}-z^m}{z-1}\\ \end{align}


Crystal Clear action back.png Utilisation des complexes en géométrie
Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/Nombre_complexe/Formules_de_base »