Nombre complexe/Factorisation et linéarisation

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**Factorisation et linéarisation**
Leçon : Nombre complexe

Chapitre 11
Chap. préc. :	Formules de base
Chap. suiv. :	Racines n-ièmes d'un nombre complexe

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Nombre complexe/Factorisation et linéarisation », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

L'exponentielle complexe est une fonction aisée à manipuler qui est très fortement liée aux fonctions trigonométriques circulaires. Pour faire des calculs sur des expressions trigonométriques, on a alors l'idée de « passer par les complexes » pour mener le calcul sur des exponentielles complexes avant de revenir à une expression totalement réelle en sin et cos.

L'intérêt de cette méthode apparaît pour effectuer deux opérations principales sur des expressions trigonométriques :

la factorisation : utile pour étudier le signe des expressions trigonométriques
la linéarisation : utile pour trouver des primitives de fonctions trigonométriques « compliquées »

Sommaire

1 Factorisation des expressions trigonométriques
- 1.1 Formule de Moivre
- 1.2 Application
2 Linéarisation des expressions trigonométriques
- 2.1 Formules d'Euler
- 2.2 Application

[modifier] Factorisation des expressions trigonométriques

[modifier] Formule de Moivre

Formule de Moivre

$\forall (n,t) \in \mathbb N \times \R,~(e^{it})^n=e^{int}$

[modifier] Application

Voir les exercices sur : Factorisations, linéarisations.

Principe

La factorisation d'une expression trigonométrique consiste à changer l'écriture d'une combinaison linéaire d'expressions de l'ensemble $\{x \mapsto \cos(ax),x\mapsto \sin(bx)/(a,b)\in\mathbb N^2\}$ en combinaison linéaire d'expressions de la forme $\{\cos(x)^a,\sin(x)^b/(a,b)\in\mathbb N^2\}$ .

Exemple

$\forall x \in \R$ , factoriser l'expression $\cos(2x)\,$ .

Soit $x\in\R$

$\begin{align} \cos(2x)&=\real(e^{2ix})=\real((e^{ix})^2)\\ &=\real((\cos(x)+i\sin(x))^2)\\ &=\real(\cos^2(x)+2i\cos(x)\sin(x)-\sin^2(x))\\ \end{align}$

On retrouve bien une expression déjà connue : $\forall x\in\R,\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$ : on a factorisé l'expression.

[modifier] Linéarisation des expressions trigonométriques

[modifier] Formules d'Euler

Formules d'Euler

Soit $t \in \R$ .
$\cos(t)=\frac{e^{it}+e^{-it}}2$ et $\sin(t)=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$

[modifier] Application

Voir les exercices sur : Factorisations, linéarisations.

Principe

La linéarisation d'une expression trigonométrique consiste à changer l'écriture d'une combinaison linéaire d'expressions de l'ensemble $\{\cos(x)^a,\sin(x)^b/(a,b)\in\mathbb N^2\}$ en combinaison linéaire d'expressions de la forme $\{x \mapsto \cos(ax),x\mapsto \sin(bx)/(a,b)\in\mathbb N^2\}$ .

C'est ainsi l'opération inverse de la factorisation.

Exemple

$\forall x \in \R$ , linéariser l'expression $\sin^2(x)\,$ .

Soit $x\in\R$

$\begin{align} \sin^2(x)&=\left ( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right )^2\\ &=-\frac14(e^{2ix}-2+e^{-2ix})\\ &=-\frac12 \frac{e^{2ix}+e^{-2ix}}2+\frac12\\ &=-\frac{\cos(2x)}2+\frac12 \end{align}$

On retrouve bien l'expression déjà connue : $\forall x\in\R,\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}2$ : on a linéarisé l'expression.

Nombre complexe

Formules de base

Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Nombre complexe/Factorisation et linéarisation

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Sommaire

[modifier] Factorisation des expressions trigonométriques

[modifier] Formule de Moivre

[modifier] Application

[modifier] Linéarisation des expressions trigonométriques

[modifier] Formules d'Euler

[modifier] Application

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