Nombre complexe/Exercices/Sujets de bac

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**Factorisations, linéarisations**
Leçon : Nombre complexe

Exercice 4

Cet exercice est de niveau 13.

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Nombre complexe/Exercices/Sujets de bac », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Exercice 1

Source : Sujet d'examen : Bac STI 2007

1. Résoudre dans l'ensemble $\scriptstyle \mathbb C$ des nombres complexes l'équation $\textstyle z^2 + 4z + 16 = 0\,$ .

2. Pour tout nombre complexe z, on pose $\textstyle P\left(z\right) = z^3 - 64\,$ .

a) Calculer P(4).

b) Trouver les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z,

$P\left(z\right) = \left(z - 4\right) \left(az^2 + bz + c\right)\,$ .

c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation P(z) = 0.

Solution

1.

$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 16 = -48 = 48i^2$

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$\begin{cases} z_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{48i^2}}{2 \times 1} = \frac{-4 + 4i\sqrt{3}}{2} = -2 + 2i\sqrt{3} \\ z_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{48i^2}}{2 \times 1} = \frac{-4 - 4i\sqrt{3}}{2} = -2 - 2i\sqrt{3} \\ \end{cases}$

2.a)

$P(z) = z^3 - 64\,$

$P(4) = 4^3 - 64 = 64 - 64\,$

$P(4) = 0\,$

2.b)

$P(z) = (z - 4) (az^2 + bz + c)\,$

$P(z) = a z^3 + bz^2 + cz - 4az^2 - 4bz - 4c = a z^3 + (b -4a) z^2 + (c-4b) z - 4c\,$

$\begin{cases} a = 1 \\ b -4a = 0 \\ c - 4b = 0 \\ - 4c = -64 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b -4 = 0 \\ c - 4b = 0 \\ c = 16 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = 4 \\ 16 - 4b = 0 \\ c = 16 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = 4 \\ 16 - 4 \times 4 = 0 \\ c = 16 \\ \end{cases}$

$P(z) = (z - 4) (z^2 + 4z + 16)\,$

3.c)

$\begin{cases} z_1 = 4 \\ z_2 = -2 + 2i\sqrt{3} \\ z_3 = -2 - 2i\sqrt{3} \\ \end{cases}$

[modifier] Exercice 2

Source : Sujet d'examen : 2007

On considère l'équation (E) : $z^3 - \left(4 + i\right) z^2 + \left(13 + 4i\right) z - 13i = 0\,$ où z est un nombre complexe.

1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de l'équation.

2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :

$z^3 - \left(4 + i\right) z^2 + \left(13 + 4i\right) z - 13i = \left(z - i\right)\left(az^2 + bz + c\right)\,$ .

En déduire les solutions de l'équation (E).

Solution

1.

$z^3 - (4 + i) z^2 + (13 + 4i) z - 13i = 0\,$

$i^3 - (4 + i) i^2 + (13 + 4i) i - 13i = -i + (4 + i) + (13 + 4i) i - 13i = -i + 4 + i + 13i - 4 - 13i = 0\,$

2.

$z^3 - (4 + i) z^2 + (13 + 4i) z - 13i = (z - i)(az^2 + bz + c)\,$

$(z - i)(az^2 + bz + c) = az^3 + bz^2 + cz - aiz^2 - bzi - ci = az^3 + (b-ai)z^2 + (c - bi) z - ci \,$

$\begin{cases} a = 1 \\ b - ai = -(4+i) \\ c - bi = 13 + 4i \\ -ci = -13i \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b - i = -4 -i) \\ c - bi = 13 + 4i \\ c = 13 \\ \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = -4 \\ 13 - bi = 13 + 4i \\ c = 13 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = -4 \\ 13 + 4i = 13 + 4i \\ c = 13 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = -4 \\ c = 13 \\ \end{cases}$

$(z - i)(z^2 - 4z + 13)=0\,$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 13 = 16 - 52 = -36 = 36i^2 = (6i)^2$

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$\begin{cases} z_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 + 6i}{2 \times 1} = 2 + 3i \\ z_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 - 6i}{2 \times 1} = 2 - 3i \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} z_1 = 2 + 3i \\ z_2 = 2 - 3i \\ z_3 = i \\ \end{cases}$

[modifier] Exercice 3

Source : Sujet d'examen : Bac STI 2007

Déterminer les nombres complexes c et d vérifiant le système :

$\begin{cases} -2c + d &= 1 + 13i \\ -c + d &= 4 + 8i \end{cases}$

Solution

$\begin{cases} -2c + d &= 1 + 13i \\ -c + d &= 4 + 8i \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d &= 1 + 13i + 2c \\ -c + d &= 4 + 8i \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} d &= 1 + 13i + 2c \\ -c + 1 + 13i + 2c &= 4 + 8i \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d &= 1 + 13i + 2c \\ c &= 4 - 1 + 8i -13i \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} d &= 1 + 13i + 2c \\ c &= 3 -5i \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d &= 1 + 13i + 2(3-5i) \\ c &= 3 -5i \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} d &= 1 + 13i + 6 -10i \\ c &= 3 -5i \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d &= 7 + 3i \\ c &= 3 -5i \end{cases}$

[modifier] Exercice 4

Pour tout nombre complexe Z, on pose $P(Z) = Z^4 - 1 \,$ .

a. Factoriser P(Z).

b. En déduire les solutions dans l'ensemble $\scriptstyle \mathbb{C}$ des complexes de l'équation P(Z) = 0.

c. Déduire de la question précédente les solutions dans $\scriptstyle \mathbb{C}$ de l'équation d'inconnue z : $\left( \frac{2z+1}{z-1} \right)^4=1$

Solution

a.

$P(Z) = Z^4 - 1 \,$

l'équation est de la forme $(a^2-b^2) \,$ donc :

$P(Z) = Z^4 - 1 = (Z^2+1)(Z^2-1) = (Z^2-i^2)(Z^2-1^2)\,$

$P(Z)=(Z+i)(Z-i)(Z+1)(Z-1) \,$

b.

$\begin{cases} Z=1 \\ Z=-1 \\ Z=i \\ Z=-i \end{cases}$

c.

$\begin{cases} \frac{2z+1}{z-1}=1 \\ \frac{2z+1}{z-1}=-1 \\ \frac{2z+1}{z-1}=i \\ \frac{2z+1}{z-1}=-i \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2z+1=z-1 \\ 2z+1=-z+1 \\ 2z+1=zi-i \\ 2z+1=-zi+i \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} z=-2 \\ z=0 \\ z=-\frac{1+i}{2-i} \\ z=-\frac{-1+i}{2+i} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} z=-2 \\ z=0 \\ z=-\frac{1+3i}{5} \\ z=-\frac{-1+3i}{5} \end{cases}$

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