Nombre complexe/Exercices/Nombres complexes et géométrie

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**Nombres complexes et géométrie**
Leçon : Nombre complexe

Exercice 3
Chapitre du cours :	Nombre complexe
Cet exercice est de niveau 11.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Nombres complexes et géométrie
Nombre complexe/Exercices/Nombres complexes et géométrie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Milieu

Soient les points $A\,$ et $B\,$ d'affixes respectives $a=1-i\,$ et $b=-2+3i\,$ .

Quelle est l'affixe du milieu $I\,$ de $\left [ AB \right ]$ ?

Solution

L'affixe z_I du milieu de [AB] vaut :

$\begin{align} z_I&=\frac{a+b}2\\ &=\frac12 \left[ \left( 1-i \right)+ \left(-2+3i \right) \right]\\ &=\frac12 - \frac i2 -\frac 22 +\frac {3i}{2}\\ &=-\frac12+i\\ \end{align}$

L'affixe z_I de I vaut donc $z_I=-\frac12+i$

[modifier] Distance

Soit les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a=1+i\,$ et $b=3-2i\,$ .

Calculer la distance $A B$ comme module d'un nombre complexe.

Solution

La distance AB s'écrit, en termes d'affixes :

$\begin{align} AB &= \left | b-a \right |\\ &= \left | (3-2i)-(1+i) \right| \\ &= \left | 2-3i \right | \\ &=\sqrt{2^2+(-3)^2}\\ &=\sqrt{13} \end{align}$

La distance AB vaut donc 3,60.

[modifier] Exercice

Les points A, B et C ont pour affixes respectives : $-2-2i , 1-i\,$ et $10+2i\,$

A soit le barycentre de $\left ( B,b \right )$ et $\left ( C,c \right )$ .
$b+c=1\,$

1. Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .

2. Démontrer en utilisant a) que A, B et C sont alignés.

3. Déterminer en utilisant a) les réels b et c tels que :

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

[modifier] Exercice

1. Déterminer l'ensemble des points M dont l'affixe vérifie :

$\left | z+6i \right | = \left | z-4+i \right |$

2. Déterminer l'ensemble des points M dont l'affixe vérifie :

$\left | 2z-3i+7 \right | = 4$

3. Déterminer l'ensemble des points M dont l'affixe vérifie :

$\left | \frac{z-3i+7}{z+i} \right |=2$

[modifier] Petit problème

Soit $A\,$ , $B\,$ et $C\,$ les points d'affixes respectives :

$z_A=3\,$ ; $z_B=\frac52+\frac72i$ et $z_C=-\frac12-\frac12i$

1. Placer A, B et C sur une figure (prendre une unité de 2 cm).

Solution

Solution

$\begin{align} \left | z_B - z_A \right | &= \left | \frac52 + \frac72i-3 \right | \\ &= \left | - \frac12 + \frac72i \right | \\ &=\sqrt{\left(-\frac12\right)^2+\left(\frac72\right)^2}\\ &=\sqrt{\frac14+\frac{49}4}\\ &=\sqrt{\frac{25}2}\\ &=\frac52\sqrt2 \end{align}$

$\begin{align} \left | z_A - z_C \right | &= \left | 3+ \frac12 + \frac12i \right | \\ &= \left | \frac72 + \frac12i \right | \\ &=\sqrt{\left(\frac72\right)^2+\left(\frac12\right)^2}\\ &=\sqrt{\frac{49}4+\frac14}\\ &=\sqrt{\frac{25}2}\\ &=\frac52\sqrt2 \end{align}$

$\begin{align} \left | z_C - z_B \right| &= \left | - \frac12 - \frac12i - \frac52 - \frac72i \right | \\ &= \left | -3-4i \right | \\ &=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5 \end{align}$

3. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.

Solution

$AB = \left | z_B - z_A \right | = \frac52 \sqrt2$
$AC = \left | z_A - z_C \right | = \frac52 \sqrt2$
$BC = \left | z_C - z_B \right | = 5$

Comme AB=AC, ABC est isocèle en A.

De plus :

$\begin{align} AB^2+AC^2&=\left(\frac52\sqrt2\right)^2+\left(\frac52\sqrt2\right)^2\\ &=2\times\frac{25}4\times2\\ &=25=BC^2 \end{align}$

Donc, d'après la réciproque du théorme de Pythagore, ABC est rectangle en A.

Finalement, ABC est isocèle rectangle en A.

4. Déterminer l'affixe du milieu I du segment [BC].

Solution

L'affixe z_I du milieu de [BC] vaut :

$\begin{align} z_I&=\frac{z_B+z_C}2\\ &=\frac12\left(\frac52+\frac72i-\frac12-\frac12i\right)\\ &=\frac12(2+3i)\\ \end{align}$

L'affixe z_I du milieu de [BC] vaut $z_I=1+\frac32i$

5. En déduire l'affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un carré.

Solution

D peut être trouvé (par exemple) en faisant l'image de A par la translation de vecteur $2\overrightarrow{AI}$ .

L'affixe de $\overrightarrow{AI}$ est :

$\begin{align} z_{\overrightarrow{AI}}&=z_I-z_A\\ &=1+\frac32i-3\\ &=-2+\frac32i \end{align}$

L'affixe de D est alors :

$\begin{align} z_D&=z_A+2z_{\overrightarrow{AI}}\\ &=3-4+3i\end{align}$

Finalement, l'affixe de D pour que ABCD soit un carré est $z_D=-1+3i\,$

[modifier] Avec des arguments

On pose :

$z_A=3+3i\,$ ; $z_B=3-3i\,$ .

1. Placer les points A et B d'affixes z_A et z_B dans un repère.

2. Calculer les modules de z_A et z_B. Que peut-on en déduire sur le triangle $OAB\,$ ?

3. Calculer un argument de

z A

, puis de

z B

. Que peut-on en déduire sur l'angle $\widehat{AOB}$ ?

4. En déduire la nature du triangle $OAB\,$ .

Solution

1.

2. $\begin{align} \left | z_A \right | &= \left | 3+3i \right | \\ &=\sqrt{3^2+3^2}\\ &=\sqrt{18}\\ &=3\sqrt2 \end{align}$

$\begin{align} \left | z_B \right | &= \left | 3-3i \right | \\ &=\sqrt{3^2+(-3)^2}\\ &=\sqrt{18}\\ &=3\sqrt2 \end{align}$

$\left | z_A \right | = OA$
$\left | z_B \right | = OB$
Donc OA=OB

OAB est isocèle en O.

3. Un argument de z_A est :

$\begin{align} \theta_A&=\arctan\left(\frac{\Im(z_A)}{\Re(z_A)}\right)\\ &=\arctan\left(\frac33\right)\\ &=\arctan(1)\\ &=\frac{\pi}4 \end{align}$

Un argument de z_A est donc $\theta_A=\frac{\pi}4$

Comme $z_B=\bar{z_A}$ , on a $θ B = - θ A$

Donc un argument de z_B est $\theta_B=-\frac{\pi}4$

On en déduit que $(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA})=\frac{\pi}4-\left(-\frac{\pi}4\right) =\frac{\pi}2$

L'angle $\widehat{AOB}$ est donc un angle droit.

4. AOB est un triangle isocèle rectangle en O.

[modifier] Encore avec des arguments

On a quatre points A, B, C et D d'affixes respectives $z_A = 8\,$ , $z_B = 8i\,$ , $z_C = z_A \left( 12-32i \right )$ et $z_D = z_B \left ( -12+32i \right )$ .

1. Calculer le module et un argument de

z A

, puis de

z B

,

z C

et

z D

.

2. Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

[modifier] Droite d'Euler

On a 3 points A, B et C et on note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

On se place dans un repère orthonormé de centre O et d'unité égale au rayon du cercle ciirconscrit.

On désigne par a, b, c les affixes respectives des points A, B et C.

1. Déterminer l'affixe du point G isobarycentre des points A, B et C.

2. Démontrer que le point H d'affixe

h = a + b + c

est l'orthocentre du triangle ABC.

3. Montrer que les points O, G et H sont alignés.

Solution

1. $g=\frac{a+b+c}{3}$

2. Il suffit de montrer que H est sur la hauteur (AB), c'est-à-dire que l'angle (AB,CH) est droit.

Pour cela, il faut et il suffit que $\frac{h-c}{b-a}$ soit imaginaire pur.

$\frac{h-c}{b-a}=\frac{b+a}{b-a}=\frac{(b+a)(\bar{b}-\bar{a})}{\left|b-a\right|^2}=\frac{a\bar{b}-\bar{a}b)}{\left|b-a\right|^2}=\frac{2iIm(a\bar b)}{\left|b-a\right|^2}$

3. Les trois points sont donc alignés car leurs affixes sont proportionnelles.

[modifier] Valeurs exactes de cos et sin

On considère les points A₀ et A₁ d'affixes respectives a₀=1 et $a_1=\exp\left(i\frac{\pi}{12}\right)$ . Le point A₂ est l'image du point A₁ par la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{12}$ .

1. Donner la forme exponentielle et algébrique de a₂ affixe du point A₂.

2. Montrer que la forme exponentielle de l'affixe z_I du point I milieu du segment

[A 0 A 2]

est $z_I=\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\exp\left(i\frac{\pi}{12}\right)$

3. Montrer que les points O, I et A₁ sont alignés.

4. Déterminer les valers exactes de $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$ . Pour simplifier l'écriture du résultat final, on pourra remarquer que $8+4\sqrt3=(\sqrt6+\sqrt2)^2$ .

Solution

1. Donner la forme exponentielle et algébrique de a₂ affixe du point A₂.

A₂ est l'image du point A₁ par la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{12}$ , donc les affixes a₂ et a₁ vérifient la formule $(a_2-0)=(a_1-0)~\exp\left(i\frac{\pi}{12}\right)$

Donc

$\begin{align}a_2&=a_1~\exp\left(i\frac{\pi}{12}\right)\\ &=\exp\left(i\frac{\pi}{12}\right)\exp\left(i\frac{\pi}{12}\right)\\ &=\exp\left(i\frac{2\pi}{12}\right)\\ \end{align}$

Donc, sous forme exponentielle, $a_2=\exp\left(i\frac{\pi}6\right)$

À présent, on exprime a₂ sous forme algébrique : $a_2=\cos\left(\frac{\pi}6\right)+i~\sin\left(\frac{\pi}6\right)$

Donc, sous forme algébrique, $a_2=\frac{\sqrt3}2+i~\frac12$

2. Montrer que la forme exponentielle de l'affixe z_I du point I milieu du segment $[A 0 A 2]$ est $z_I=\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\exp\left(i\frac{\pi}{12}\right)$

L'affixe z_I du point I milieu du segment $[A 0 A 2]$ est défini par :

$\begin{align} z_I&=\frac{a_0+a_2}2\\ &=\frac12\left(1+\exp\left(i\frac{\pi}6\right)\right)\\ &=\frac12\exp\left(i\frac{\pi}{12}\right)\left(\exp\left(-i\frac{\pi}{12}\right)+ \exp\left(i\frac{\pi}{12}\right)\right)\\ &=\frac12\exp\left(i\frac{\pi}{12}\right)~2\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\\ \end{align}$

L'affixe de I est donc, sous forme exponentielle, $z_I=\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\exp\left(i\frac{\pi}{12}\right)$

3. Montrer que les points O, I et A₁ sont alignés.

$\arg(z_I)=\arg(a_1)=\frac{\pi}{12}$

Donc O, I et A₁ sont alignés.

4. Déterminer les valeurs exactes de $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$ .

D'après la question 3, $\left | z_I \right |=\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$ . Pour trouver son expression explicite, on peut passer par l'écriture sous forme algébrique pour calculer ce module d'une autre façon.

Écrivons z_I sous forme algébrique :

$\begin{align} z_I&=\frac{a_0+a_2}2\\ &=\frac12\left(1+\frac{\sqrt3}2+i~\frac12\right)\\ &=\frac{2+\sqrt3}4+i~\frac14 \end{align}$

Maintenant, on peut exprimer $\left | z_I \right |$ :

$\begin{align} \left | z_I \right | &= \sqrt{\left(\frac{2+\sqrt3}4\right)^2+\left(\frac14\right)^2}\\ &=\sqrt{\frac{(2+\sqrt3)^2}{16}+\frac1{16}}\\ &=\sqrt{\frac{8+4\sqrt3}{16}}\\ &=\sqrt{\frac{(\sqrt6+\sqrt2)^2}{16}}\\ \end{align}$

Finalement, $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$

On peut alors retrouver l'expression de $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$ grâce à l'expression $\cos^2\left(\frac{\pi}{12}\right)+\sin^2\left(\frac{\pi}{12}\right)=1$

On trouve $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$

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