Nombre complexe/Exercices/Nombres complexes et géométrie
Une page de Wikiversité.
| Exercice 3 | |||
| Leçon : Nombre complexe | |||
|---|---|---|---|
| Chapitre du cours : | Nombre complexe | ||
|
Cet exercice est de niveau 11. |
|||
Sommaire |
[modifier] Milieu
Soient les points
et
d'affixes respectives
et
.
- Quelle est l'affixe du milieu
de
?
L'affixe zI du milieu de [AB] vaut :

L'affixe zI de I vaut donc ![]() |
[modifier] Distance
Soit les points A et B d'affixes respectives
et
.
- Calculer la distance AB comme module d'un nombre complexe.
La distance AB s'écrit, en termes d'affixes :

| La distance AB vaut donc 4. |
[modifier] Exercice
Les points A, B et C ont pour affixes respectives :
et 
- A soit le barycentre de
et
. 
- 1. Déterminer les affixes des vecteurs
et
. - 2. Démontrer en utilisant a) que A, B et C sont alignés.
- 3. Déterminer en utilisant a) les réels b et c tels que :
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?
[modifier] Exercice
a) Déterminer l'ensemble des points M dont l'affixe vérifie :
b) Déterminer l'ensemble des points M dont l'affixe vérifie :
c) Déterminer l'ensemble des points M dont l'affixe vérifie :
[modifier] Petit problème
Soit
,
et
les points d'affixes respectives :
;
et 
- 1. Placer A, B et C sur une figure (prendre une unité de 2 cm).
- 2. Calculer
;
et 



- 3. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
Comme AB=AC, ABC est isocèle en A.
De plus :

Donc, d'après la réciproque du théorme de Pythagore, ABC est rectangle en A.
| Finalement, ABC est isocèle rectangle en A. |
- 4. Déterminer l'affixe du milieu I du segment [BC].
L'affixe zI du milieu de [BC] vaut :

L'affixe zI du milieu de [BC] vaut ![]() |
- 5. En déduire l'affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un carré.
D peut être trouvé (par exemple) en faisant l'image de A par la translation de vecteur
.
L'affixe de
est :

L'affixe de D est alors :

Finalement, l'affixe de D pour que ABCD soit un carré est ![]() |
[modifier] Avec des arguments
On pose :
;
.
- 1. Placer les points A et B d'affixes zA et zB dans un repère.
- 2. Calculer les modules de zA et zB. Que peut-on en déduire sur le triangle
? - 3. Calculer un argument de zA , puis de zB. Que peut-on en déduire sur l'angle
? - 4. En déduire la nature du triangle
.
[modifier] Encore avec des arguments
On a quatre points A, B, C et D d'affixes respectives
,
,
et
.
- 1. Calculer le module et un argument de zA , puis de zB ,zC et zD.
- 2. Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?
[modifier] Droite d'Euler
On a 3 points A, B et C et on note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
On se place dans un repère orthonormé de centre O et d'unité égale au rayon du cercle ciirconscrit.
On désigne par a, b, c les affixes respectives des points A, B et C.
- 1. Déterminer l'affixe du point G isobarycentre des points A, B et C.
- 2. Démontrer que le point H d'affixe h = a + b + c est l'orthocentre du triangle ABC.
- 3. Montrer que les points O, G et H sont alignés.
1. 
2. Il suffit de montrer que H est sur la hauteur (AB), c'est-à-dire que l'angle (AB,CH) est droit.
Pour cela, il faut et il suffit que
soit imaginaire pur.

3. Les trois points sont donc alignés car leurs affixes sont proportionnelles.
[modifier] Valeurs exactes de cos et sin
On considère les points A0 et A1 d'affixes respectives a0=1 et
. Le point A2 est l'image du point A1 par la rotation de centre O et d'angle
.
- 1. Donner la forme exponentielle et algébrique de a2 affixe du point A2.
- 2. Montrer que la forme exponentielle de l'affixe zI du point I milieu du segment [A0A2] est

- 3. Montrer que les points O, I et A1 sont alignés.
- 4. Déterminer les valers exactes de
et
. Pour simplifier l'écriture du résultat final, on pourra remarquer que
.
1. Donner la forme exponentielle et algébrique de a2 affixe du point A2.
A2 est l'image du point A1 par la rotation de centre O et d'angle
, donc les affixes a2 et a1 vérifient la formule 
Donc

Donc, sous forme exponentielle, ![]() |
À présent, on exprime a2 sous forme algébrique : 
Donc, sous forme algébrique, ![]() |
2. Montrer que la forme exponentielle de l'affixe zI du point I milieu du segment [A0A2] est 
L'affixe zI du point I milieu du segment [A0A2] est défini par :

L'affixe de I est donc, sous forme exponentielle, ![]() |
3. Montrer que les points O, I et A1 sont alignés.

| Donc O, I et A1 sont alignés. |
4. Déterminer les valeurs exactes de
et
.
D'après la question 3,
. Pour trouver son expression explicite, on peut passer par l'écriture sous forme algébrique pour calculer ce module d'une autre façon.
Écrivons zI sous forme algébrique :

Maintenant, on peut exprimer













, on a 





