Nombre complexe/Exercices/Factorisations, linéarisations

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Factorisations, linéarisations
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Exercice 3
Leçon : Nombre complexe
Chapitre du cours : Factorisation et linéarisation

Cet exercice est de niveau 13.
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Nombre complexe/Exercices/Factorisations, linéarisations  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Linéarisation

[modifier] Linéarisation

Linéariser \sin^3(x)\,.

Solution

Soit x\in\R

\begin{align} \sin^3(x)&=\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^3\\ &=\frac{(e^{ix}-e^{-ix})^3}{-8i}\\ &=\frac{e^{3ix}-3e^{ix}+3e^{-ix}-e^{-3ix}}{-8i}\\ &=-\frac14\frac{e^{3ix}-e^{-3ix}}{2i}+\frac34\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)\\ &=-\frac14\sin(3x)+\frac34\sin(x) \end{align}
Donc \forall x\in\R,~\sin^3(x)=-\frac14\sin(3x)+\frac34\sin(x)

[modifier] Calcul de primitive

Trouver une primitive de la fonction f:x \mapsto \sin^2(x)\cos^4(x) définie sur \R.



Pour démarrer
  • La première erreur à ne pas faire est de dire que l'intégrale d'un produit est le produit des intégrales. Ceci est totalement faux.
  • La présence d'exposants élevés sur les fonctions trigonométriques empêche tout espoir de parvenir à ses fins par une salve d'intégrations par parties.
  • L'idée est alors de linéariser l'expression pour transformer des produits en sommes de termes simples
  • Il est ensuite facile d'intégrer chacun des termes et de sommer.


Solution

Soit x\in\R.

\begin{align} \sin^2(x)\cos^4(x)&=\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^2\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2\right)^4\\ &=\frac1{2^6i^2}(e^{ix}-e^{-ix})^2(e^{ix}+e^{-ix})^4\\ &=-\frac1{2^6}(e^{2ix}-2+e^{-2ix})(e^{4ix}+4e^{2ix}+6+4e^{-2ix}+e^{-4ix})\\ &=-\frac1{2^6}((e^{6ix}+e^{-6ix})+2(e^{4ix}+e^{-4ix})-(e^{2ix}+e^{-2ix})-4)\\ &=-\frac1{2^5}(\cos(6x)+2\cos(4x)-\cos(2x)-2)\\ &=-\frac{\cos(6x)}{32}-\frac{\cos(4x)}{16}+\frac{\cos(2x)}{32}+\frac1{16}\\ \end{align}


\begin{align} \int \sin^2(x)\cos^4(x)~\mathrm dx&=\int -\frac{\cos(6x)}{32}-\frac{\cos(4x)}{16}+\frac{\cos(2x)}{32}+\frac1{16}~\mathrm dx\\ &=-\frac16\frac{\sin(6x)}{32}-\frac14\frac{\sin(4x)}{16}+\frac12\frac{\sin(2x)}{32}+\frac x{16}+\gamma\\ \end{align}

Une primitive de f est alors la fonction F définie sur \R par F:x\mapsto -\frac{\sin(6x)}{192}-\frac{\sin(4x)}{64}+\frac{\sin(2x)}{64}+\frac x{16}


[modifier] Calculs explicites de sommes

[modifier] Somme 1

Soit (n,x) \in \mathbb N \times \R.
Exprimer \sum_{p=0}^n \cos(px) sans symbole de sommation.

Solution
  • 1°cas : x\not\in 2\pi\mathbb Z

\begin{align} \sum_{p=0}^n \cos(px)&=\sum_{p=0}^n \Re(e^{ipx})\\ &=\Re\left(\sum_{p=0}^ne^{ipx}\right)\\ &=\Re\left(\frac{(e^{ix})^{n+1}-1}{e^{ix}-1}\right)\\ &=\Re\left(\frac{\displaystyle{e^{\frac{(n+1)ix}2}\left(e^{\frac{(n+1)ix}2}-e^{-\frac{(n+1)ix}2}\right)}} {\displaystyle{e^{\frac{ix}2}\left(e^{\frac{ix}2}-e^{\frac{-ix}2}\right)}}\right)\\ &=\Re\left(\frac{e^{\frac{(n+1)ix}2}2i\sin\left(\frac{(n+1)x}2\right)} {e^{\frac{ix}2}2i\sin\left(\frac x2\right)}\right)\\ &=\cos\left(\frac{nx}2\right)\frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}2\right)}{\sin\left(\frac x2\right)} \end{align}

  • 2°cas : x\in 2\pi\mathbb Z : \sum_{p=0}^n \cos(px)=n+1
Finalement :
  • Si x\not\in 2\pi\mathbb Z,~\sum_{p=0}^n \cos(px)=\cos\left(\frac{nx}2\right)\frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}2\right)}{\sin\left(\frac x2\right)}
  • Si x\in 2\pi\mathbb Z,~\sum_{p=0}^n \cos(px)=n+1

[modifier] Somme 2

Soit (n,x) \in \mathbb N \times \R.
Exprimer \sum_{p=0}^n \cos^2(px) sans symbole de sommation.

Solution
  • 1° étape : On linéarise l'expression à sommer :
\forall x\in\R,\forall p\in\N,~\cos^2(px)=\frac{1+\cos(2x)}2
  • 2° étape : On remplace :
\sum_{p=0}^n\cos^2(px)=\sum_{p=0}^n\frac12+\frac12\sum_{p=0}^n\cos(2x)
  • 3° étape : On réutilise la question précédnte pour conclure :
Finalement :
  • Si x\not\in \pi\mathbb Z,~\sum_{p=0}^n \cos^2(px)=\frac{n+1}2+\frac12\cos(nx)\frac{\sin((n+1)x)}{\sin(x)}
  • Si x\in \pi\mathbb Z,~\sum_{p=0}^n\cos^2(px)=n+1
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