Nombre complexe/Exercices/Exercices sur la forme algébrique

Une page de Wikiversité.

Exercices sur la forme algébrique
Exercice 1
Leçon : Nombre complexe
Chapitre du cours : 2

Cet exercice est de niveau 12.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Exercices sur la forme algébrique
Nombre complexe/Exercices/Exercices sur la forme algébrique  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Pour répondre 0 (zéro) à une question , merci de remplir le champ par un O (lettre O) et non pas par un chiffre 0.


Sommaire

[modifier] Parties réelles et imaginaires

Donner les parties réelles et imaginaires des ces nombres complexes sous forme algébrique.

Point ajouté pour une réponse juste:   
Point retiré pour une réponse erronée:
Ignorer les coefficients des questions:

1. z=2+3.i\,

Partie réelle :
Partie imaginaire :

2. z=2.i+3\,

Partie réelle :
Partie imaginaire :

3. z=3-2.i\,

Partie réelle :
Partie imaginaire :

4. z=-1+i\,

Partie réelle :
Partie imaginaire :

5. z=2.i\,

Partie réelle :
Partie imaginaire :

6. z=-i\,

Partie réelle :
Partie imaginaire :

7. z=3\,

Partie réelle :
Partie imaginaire :

8. z=0\,

Partie réelle :
Partie imaginaire :

9. Quand la partie réelle d'un nombre complexe est nulle, on dit qu'il est imaginaire pur. Cochez les cases qui sont devant des complexes imaginaires purs ?

z=2+3.i\,
z=2.i+3\,
z=3-2.i\,
z=-1+i\,
z=2.i\,
z=-i\,
z=3\,
z=0\,

Votre pointage est 0 / 0


[modifier] Addition sous forme algébrique

Additionner les nombres complexes z1 et z2 donnés sous forme algébrique pour obtenir leur somme z1 + z2 sous forme algébrique.

Indication : rassembler les termes qui contiennent des i, mettre i en facteur et simplifier.

Point ajouté pour une réponse juste:   
Point retiré pour une réponse erronée:
Ignorer les coefficients des questions:

1. z_1=5+4.i\, et z_2=3+2.i\,

z1 + z2 = + i

2. z_1=-5+4.i\, et z_2=3-2.i\,

z1 + z2 = + i

3. z_1=i\, et z_2=3-2.i\,

z1 + z2 = + i

4. z_1=2\, et z_2=3-2.i\,

z1 + z2 = + i

Votre pointage est 0 / 0


[modifier] Soustraction sous forme algébrique

La soustraction se fait de la même manière que l'addition.

Attention quand même car le "moins" se distribue à l'ensemble du nombre complexe que l'on soustrait.

Point ajouté pour une réponse juste:   
Point retiré pour une réponse erronée:
Ignorer les coefficients des questions:

1. z_1=5+4.i\, et z_2=3+2.i\,

z1 - z2 = + i

2. z_1=-5+4.i\, et z_2=3-2.i\,

z1 - z2 = + i

3. z_1=i\, et z_2=3-2.i\,

z1 - z2 = + i

4. z_1=2\, et z_2=3-2.i\,

z1 - z2 = + i

Votre pointage est 0 / 0


[modifier] Multiplication

Soit les nombres complexes z=2-3i\, et z'=-4+i\,.

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique.

Point ajouté pour une réponse juste:   
Point retiré pour une réponse erronée:
Ignorer les coefficients des questions:

1. z+z'\,

= + i

2. 3z-2z'\,

= + i

3. z\times z'\,

= + i

4. z^2\,

= + i

5. z'^3\,

= + i

6. (1-z)(5+z')\,

= + i

Votre pointage est 0 / 0


[modifier] Division de nombres complexes

[modifier] Exercice

Nous allons décomposer z_1\, et z_2\, pour les mettre sous forme algébrique.

Illustration des exemples

Mettre les nombres z_1\, et z_2\, sous forme algébrique

z_1 = \frac {-1 + 2i} {5} = ...
z_2 = \frac {-1 - 2i} {5} =...


Décomposition d'un nombre complexe : Décomposition de z_1\, et z_2\,

z_1 = \frac {-1 + 2i} {5} = \frac {-1} {5} + i \frac {2} {5} où x = \frac {-1} {5} \in\mathbb{R} et y = \frac {2} {5} \in\mathbb{R}
et
z_2 = \frac {-1 - 2i} {5} = \frac {-1} {5} + i \frac {-2} {5} où x = \frac {-1} {5} \in\mathbb{R} et y = \frac {-2} {5} \in\mathbb{R}
Notons bien que ces deux décompositions sont uniques, comme le dit la définition.

 

[modifier] Exercice : Valeurs prises par un polynôme, représentation géométrique

Point ajouté pour une réponse juste:   
Point retiré pour une réponse erronée:
Ignorer les coefficients des questions:

1. Soit P(z) le polynôme défini pour tout nombre complexe z par : P(z)=z^2-4z+13\,.

Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

P(0)\, = + i
P(i)\, = + i
P(2+3i)\, = + i
P(2-3i)\, = + i

Votre pointage est 0 / 0


2. Dans le plan complexe d'unité graphique 1 cm, placer les images des nombres précédents.

[modifier] Exercice

Soit z=\frac{3-2i}{5+i}\, et z'=\frac{3+2i}{5-i}\, deux nombres complexes.

1. Vérifier que z'=\bar{z}

2. Démontrer que z+z'\, est un nombre réel et que z-z'\, est un imaginaire pur.

3. Dans le plan complexe d'unité graphique 1 cm, placer les images des nombres précédents.

Solution

1. Faisons le calcul de \bar z :

\begin{align}\bar{z}&=\overline{\left(\frac{3-2i}{5+i}\right)}\\ &=\frac{\overline{3-2i}}{\overline{5+i}}\\ &=\frac{3+2i}{5-i}=z' \end{align}

2.

  • \Re(z)=\frac{z+\bar z}2 donc z+z'=z+\bar z=2\Re(z) donc z+z'\, est un nombre réel
  • \Im(z)=\frac{z-\bar z}{2i} donc z-z'=z-\bar z=2i\Im(z) donc z-z'\, est un nombre imaginaire pur

3. Image:Defaut.svg

 

[modifier] Exercice

On donne z_1=-2+3i\, et z_2=3+i\,

Les fractions doivent être entrées complètement simplifiées à l'aide du slash /.
Point ajouté pour une réponse juste:   
Point retiré pour une réponse erronée:
Ignorer les coefficients des questions:

1. Calculer z_1+z_2\,

z1 + z2 = + i

2. Calculer z_1-z_2\,

z1 - z2 = + i

3. Calculer z_1\times z_2

z1 z2 = + i

4. Calculer \frac{z_1}{z_2}

\frac{z_1}{z_2} = + i

Votre pointage est 0 / 0


[modifier] Exercice

On donne z_1=-3+2i\, et z_2=3-i\,

Les fractions doivent être entrées complètement simplifiées à l'aide du slash /.
Point ajouté pour une réponse juste:   
Point retiré pour une réponse erronée:
Ignorer les coefficients des questions:

1. Calculer z_1+z_2\,

z1 + z2 = + i

2. Calculer z_1-z_2\,

z1 - z2 = + i

3. Calculer z_1\times z_2

z1 z2 = + i

4. Calculer \frac{z_1}{z_2}

\frac{z_1}{z_2} = + i

Votre pointage est 0 / 0


[modifier] Exercice

On donne z_1=-5+2i\, et z_2=\frac{3}{7}-i\,

On donnera les nombres complexes sous forme algébrique, les fractions devant être simplifiées.

a) z_1-z_2\,

b) z_1\times z_2

c) |z_1|\,

d) \frac{z_1}{z_2}

e) z_1^3

Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/Nombre_complexe/Exercices/Exercices_sur_la_forme_alg%C3%A9brique »