Nombre complexe/Exercices/Calcul de modules et d'arguments

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**Calcul de modules et d'arguments**
Leçon : Nombre complexe

Exercice 4
Chapitre du cours :	Module et argument
Cet exercice est de niveau 11.

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Nombre complexe/Exercices/Calcul de modules et d'arguments », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Calcul du module
2 Calcul d'un argument
3 Forme trigonométrique
4 Calcul avec Arctan
5 Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique.
6 Exercice
7 Exercice
8 Exercice
9 Exercice

[modifier] Calcul du module

Déterminer le module des nombres complexes suivants (on demande des valeurs exactes).

Contrôler sur une figure les résultats obtenus.

a) $z=1+i\,$

b) $z=-5i\,$

c) $z=-1-i\,$

d) $z=1-i\sqrt3$

e) $z=-\sqrt3+i$

f) $z=\cos\left(\frac{\pi}4\right)-i.\sin\left(\frac{\pi}4\right)$

Solutions

a) $z=1+i\,$

$|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt 2$

b) $z=-5i\,$

$|z|=\sqrt{0^2+(-5)^2}=5$

c) $z=-1-i\,$

$|z|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt 2$

d) $z=1-i\sqrt 3$

$|z|=\sqrt{1^2+(-\sqrt 3)^2}=\sqrt 4=2$

e) $z=-\sqrt 3+i$

$|z|=\sqrt{(-\sqrt 3)^2+1^2}=\sqrt 4=2$

f) $z=\cos\left(\frac{\pi}4\right)-i.\sin\left(\frac{\pi}4\right)$

$|z|=\sqrt{\left(\cos\left(\frac{\pi}4\right)\right)^2 +\left(-\sin\left(\frac{\pi}4\right)\right)^2}=\sqrt 1=1$

[modifier] Calcul d'un argument

Déterminer un argument des nombres complexes suivants (on demande des valeurs exactes, en utilisant les valeurs de l'exercice précédent pour le module.

Contrôler sur la figure précédente les résultats obtenus.

a) $z=1+i\,$

b) $z=-5i\,$

c) $z=-1-i\,$

d) $z=1-i\sqrt3$

e) $z=-\sqrt3+i$

f) $z=\cos\left(\frac{\pi}4\right)-i.\sin\left(\frac{\pi}4\right)$

Solutions

a) $z=1+i\,$

$\cos(\theta)=\frac1{|z|}=\frac1{\sqrt2}$ .

Donc $\theta=\frac{\pi}4\textrm{~ou~}\theta=-\frac{\pi}4$ .

Comme b > 0, on a $\theta=\frac{\pi}4$

b) $z=-5i\,$

a = 0 et b < 0 donc $\theta=-\frac{\pi}2$ .

c) $z=-1-i\,$

$\cos(\theta)=\frac{-1}{|z|}=-\frac1{\sqrt 2}$ .

Donc $\theta=\frac{3\pi}4\textrm{~ou~}\theta=-\frac{3\pi}4$ .

Comme b < 0, on a $\theta=-\frac{3\pi}4$

d) $z=1-i\sqrt 3$

$\cos(\theta)=\frac1{|z|}=\frac12$ .

Donc $\theta=\frac{\pi}3\textrm{~ou~}\theta=-\frac{\pi}3$ .

Comme b < 0, on a $\theta=-\frac{\pi}3$

e) $z=-\sqrt3+i$

$\cos(\theta)=\frac{-\sqrt3}{|z|}=\frac{-\sqrt3}2$ .

Donc $\theta=\frac{5\pi}6\textrm{~ou~}\theta=-\frac{5\pi}6$ .

Comme b > 0, on a $\theta=\frac{5\pi}6$

f) $z=\cos\left(\frac{\pi}4\right)-i.\sin\left(\frac{\pi}4\right)$

$\cos(\theta)=\frac{\cos\left(\frac{\pi}4\right)}{|z|}=\frac{\sqrt2}2$ .

Donc $\theta=\frac{\pi}4\textrm{~ou~}\theta=-\frac{\pi}4$ .

Comme b < 0, on a $\theta=-\frac{\pi}4$

[modifier] Forme trigonométrique

En utilisant les résultats des deux précédents exercices, mettre les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique

a) $z=1+i\,$

b) $z=-5i\,$

c) $z=-1-i\,$

d) $z=1-i\sqrt3$

e) $z=-\sqrt3+i$

f) $z=\cos\left(\frac{\pi}4\right)-i.\sin\left(\frac{\pi}4\right)$

Solutions

a) $z=1+i\,$

$z=\sqrt2\left(\cos\left(\frac{\pi}4\right)+i\sin\left(\frac{\pi}4\right)\right)$

b) $z=-5i\,$

$z=5i\sin\left(-\frac{\pi}2\right)$

c) $z=-1-i\,$

$z=\sqrt2\left(\cos\left(-\frac{3\pi}4\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}4\right)\right)$

d) $z=1-i\sqrt3$

$z=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}3\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}3\right)\right)$

e) $z=-\sqrt3+i$

$z=2\left(\cos\left(\frac{5\pi}6\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}6\right)\right)$

f) $z=\cos\left(\frac{\pi}4\right)-i.\sin\left(\frac{\pi}4\right)$

$z=\cos\left(-\frac{\pi}4\right)+i.\sin\left(-\frac{\pi}4\right)$

[modifier] Calcul avec Arctan

En utilisant la fonction $A r c t a n$ de la calculatrice, donner un argument des nombres complexes suivants. Penser à décider entre $θ$ et $θ + π$ grâce au signe de la partie réelle.

a) $z=1+i\,$

b) $z=-5i\,$

c) $z=-1-i\,$

d) $z=1-i\sqrt3$

e) $z=-\sqrt3+i$

f) $z=\cos\left(\frac{\pi}4\right)-i.\sin\left(\frac{\pi}4\right)$