Nombre complexe/Exercices/Équations polynomiales complexes

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**Équations polynomiales complexes**
Leçon : Nombre complexe

Exercice 5
Chapitre du cours :	Racines n-ièmes d'un nombre complexe
Cet exercice est de niveau 13.

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Nombre complexe/Exercices/Équations polynomiales complexes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Racines carrées d'un nombre complexe

Soit $z\in\mathbb C$ tel que $\mathfrak R(z)\not=0$ .

On pose $v=z+|z|\,$ . Montrer que les racines carrées de z sont $\pm\frac v{\sqrt{2\mathfrak R(v)}}$

Solution

$\begin{align} \left(\frac v{\sqrt{2\mathfrak R(v)}}\right)^2&=\frac{v^2}{2\mathfrak R(v)}\\ &=\frac{(z+|z|)^2}{2(|z|+\Re(z))}\\ &=\frac{z^2+2z|z|+|z|^2}{2(|z|+\Re(z))}\\ &=z~\frac{z+\bar z+2|z|}{2(|z|+\Re(z))}\\ &=z~\frac{2(\Re(z)+|z|)}{2(|z|+\Re(z))}\\ &=z \end{align}$

On sait ainsi que les carrés de $\frac v{\sqrt{2\mathfrak R(v)}}$ et $-\frac v{\sqrt{2\mathfrak R(v)}}$ valent z.
On sait qu'il existe exactement deux racines carrées distinctes de z.

Finalement, les racines carrées de z sont $\pm\frac v{\sqrt{2\mathfrak R(v)}}$

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