Nombre complexe/Exercice/Sujet de bac S

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Sujet de bac S (2001)
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Exercice 8
Leçon : Nombre complexe

Cet exercice est de niveau 13.
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Nombre complexe/Exercice/Sujet de bac S  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

On considère le polynôme P défini par :

P(z)=z^4-6z^3+24 z^2 -18z +63\,

1. Calculer P(i\sqrt{3}) et P(-i\sqrt{3}),

puis montrer qu'il existe un polynôme Q du second degré à coefficients réels,

que l'on déterminera, tel que pour tout z\in\C on ait :

P(z)=(z^2+3)Q(z)\,.

2. Résoudre dans \C l'équation P(z)=0\,.

3. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (O;\vec{u},\vec{v})

les points A, B, C et D d'affixes respectives :

z_A =i\sqrt{3}, z_B=-i\sqrt{3}, z_C=3+2i\sqrt{3} et z_D=\bar{z_C},

puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle.

4. On note E le symétrique de D par rapport à O.

Montrer que \frac{z_C-z_B}{z_E-z_B}=e^{-\frac{i\pi}{3}} puis déterminer la nature du triangle BEC.

Solution

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