Nombre complexe/Exercice/Manipulation de complexes

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Manipulation de complexes
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Exercice 9
Leçon : Nombre complexe
Chapitre du cours : Factorisation et linéarisation

Cet exercice est de niveau 13.
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Nombre complexe/Exercice/Manipulation de complexes  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Exercice 1

Soit (a,b,c,d)\in\R^4 tel que cd\not=0.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur (a,b,c,d) pour que \frac{a+ib}{c+id}\in\R
Solution

Tout d'abord, remarquons que :

\frac{a+ib}{c+id} = \frac{(a+ib)(c-id)}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\frac{ad-bc}{c^2+d^2}

Ainsi, dans ce cas, il faut et il suffit, pour que, \frac{a+ib}{c+id}\in\R, que ad − bc = 0

[modifier] Exercice 2

Soit (a,b)\in\mathbb C\times\mathbb C\backslash\{1\}.

Montrer que \frac{a-b\bar a}{1-b}\in\R ssi a\in\R ou |b|=1\,
Solution

Comme dans l'exercice 1, on réécrit la fraction de sorte que le dénominateur soit réel :

\frac{a-b\bar a}{1-b} = \frac{(a-b\bar a)(1-\bar{b})}{(1-b)(1-\bar{b})} = \frac{a-b\bar a - a \bar b + a b \bar b}{1 - 2 \Re (b) - |b|^2} = \frac{a+|b|^2 \bar a - 2 \Re (a \bar b)}{1 - 2 \Re (b) - |b|^2}

en utilisant les propriétés de la conjugaison de complexes.

Il reste a remarquer que : a+|b|^2 \bar a = (1 + |b|^2) \Re(a) + i (1 - |b|^2) \Im(a).

Ainsi, on a : \frac{a-b\bar a}{1-b}\in\R \Longleftrightarrow (1-|b|^2) \Im(a) = 0 \Longleftrightarrow a\in\R \ ou \ |b|=1

[modifier] Exercice 3

Pour tout n\in\mathbb N, on pose z_n=\left(\frac{1+i\sqrt3}{1-i}\right)^n

Soit n\in\mathbb N.

Montrer que z_n\in\R \Leftrightarrow 12|7n. En déduire \{n\in\mathbb N|z_n\in\R\}
Solution

Tout d'abord, on réécrit les nombres complexes de la fraction sous forme exponentielle :

1+i \sqrt 3 = 2 \exp \left(i \frac{\pi}{3}\right) \qquad 1-i = \sqrt 2 \exp \left(-i \frac{\pi}{4} \right)

Ainsi : \frac{1+i\sqrt3}{1-i} = \sqrt 2 \exp \left(i \frac{7 \pi}{12}\right) .

D'où, par la formule de Moivre : z_n = (\sqrt 2)^n \exp \left(i \frac{7 n \pi}{12}\right) .

Ainsi, z_n\in\R \Leftrightarrow \frac{7 n}{12} \in \mathbb N \Leftrightarrow 12|7n.

De plus, 12 et 7 sont premiers entre eux, donc, par le théorème de Gauss : 12 | n.

Finalement \{n\in\mathbb N|z_n\in\R\} = 12 \mathbb N = \{12 k | k\in\mathbb N \}.

[modifier] Exercice 4

1. Montrer que pour tout réel t, 1-e^{it}=-2i\sin\left(\frac t2\right)e^{it/2}

2. Montrer que e^{i\pi/11}+e^{3i\pi/11}+e^{5i\pi/11}+e^{7i\pi/11}+e^{9i\pi/11}=\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{11}\right)}{\sin\left(\frac\pi{11}\right)}e^{i\pi/11}

3. En déduire la valeur exacte de \cos\left(\frac{\pi}{11}\right)+\cos\left(\frac{3\pi}{11}\right)+\cos\left(\frac{5\pi}{11}\right)+\cos\left(\frac{7\pi}{11}\right)+\cos\left(\frac{9\pi}{11}\right)

Solution

1. Il suffit de factoriser par eit / 2 :

1-e^{it}=e^{it/2}(e^{-it/2} - e^{it/2}) = -2i\sin\left(\frac t2\right)e^{it/2}

2. Posons r = eiπ / 11. On a alors :

e^{i\pi/11}+e^{3i\pi/11}+e^{5i\pi/11}+e^{7i\pi/11}+e^{9i\pi/11} = r + r^3 + r^5 + r^7 + r^9 = r ( 1 + r^2 + (r^2)^2 + (r^2)^3 + (r^2)^4) = r \frac{1 - (r^2)^5}{1 - r^2}

comme somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.
Ainsi :

e^{i\pi/11}+e^{3i\pi/11}+e^{5i\pi/11}+e^{7i\pi/11}+e^{9i\pi/11} = e^{i\pi/11} \frac{1 - e^{10i\pi/11}}{1 - e^{2i\pi/11}}

On applique le résultat de la question 1. au numérateur et au dénominateur :

e^{i\pi/11}+e^{3i\pi/11}+e^{5i\pi/11}+e^{7i\pi/11}+e^{9i\pi/11} = e^{i\pi/11} \frac{-2i\sin\left(\frac{5\pi}{11}\right)e^{5i\pi/11}}{-2i\sin\left(\frac{\pi}{11}\right)e^{i\pi/11}}

En simplifiant, on retrouve l'égalité recherchée.

3. En voyant que la somme des cosinus est la partie réelle du terme de gauche de l'égalité de la question 2., la solution est évidente :

\cos\left(\frac{\pi}{11}\right)+\cos\left(\frac{3\pi}{11}\right)+\cos\left(\frac{5\pi}{11}\right)+\cos\left(\frac{7\pi}{11}\right)+\cos\left(\frac{9\pi}{11}\right) = \Re \left(\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{11}\right)}{\sin\left(\frac\pi{11}\right)}e^{i\pi/11} \right) = \frac{\sin\left(\frac{5\pi}{11}\right)}{\sin\left(\frac\pi{11}\right)}\cos\left(\frac\pi{11}\right)

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