Nombre complexe/Conjugué d'un nombre complexe

Une page de Wikiversité.

**Conjugué d'un nombre complexe**
Leçon : Nombre complexe

Chapitre 4
Chap. préc. :	Représentation géométrique
Chap. suiv. :	Module et argument

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Nombre complexe : Conjugué d'un nombre complexe
Nombre complexe/Conjugué d'un nombre complexe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Conjugué d'un nombre complexe
- 1.1 Interprétation géométrique
- 1.2 Exemples
2 Division de deux nombres complexes

[modifier] Conjugué d'un nombre complexe

Définition

Le nombre complexe conjugué d'un nombre complexe $z = x + i y$ est :

$\bar z = x - iy$

[modifier] Interprétation géométrique

Propriété

Les images de deux nombres complexes conjugués sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

[modifier] Exemples

Exemples de nombres complexes conjugués : Exemples simples

Le conjugué de :

$z = 5 + 2i\,$ est $\bar z = 5 - 2i$
$z = 3 - i\,$ est $\bar z = 3 + i$

Remarques :

le nombre conjugué d'un réel est lui-même car la partie imaginaire est nulle.
le nombre conjugué d'un imaginaire pur est l'opposé de cet imaginaire pur.

Par exemple, le conjugué de :

$z = 8\,$ est $\bar z = 8$ , d'où $z = \bar z$
$z = 6i\,$ est $\bar z = -6i$ d'où $z = - \bar z$

[modifier] Division de deux nombres complexes

[modifier] Produit d'un nombre complexe et de son conjugué

Propriété

Pour tout nombre complexe z, le produit $z\bar{z}$ est un nombre réel positif.

[modifier] Division de nombres complexes

La propriété précédente nous permet de diviser deux nombres complexes en multipliant au numérateur et au dénominateur par $\bar{z}$ .

Exemple d'utilisation du conjugué

Soit $z = 2 + 3i\,$ , calculer $\frac {1} {z}$
$\frac {1} {z} = \frac {1} {2 + 3i} = \frac {2 - 3i} {(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac {2 - 3i} {4 - i^2 \times 9} = \frac {2 - 3i} {4 + 9} = \frac{2 - 3i}{13}$

[modifier] Opérations avec les nombres complexes conjugués

Définition

La conjugaison "se comporte bien" avec les quatre opérations.

C'est-à-dire l'ordre dans lequel les calculs (opérations ou conjugué) sont effectués n'a pas d'importance.

$\overline {z_1 + z_2} = \bar z_1 + \bar z_2$
$\overline {z_1 - z_2} = \bar z_1 - \bar z_2$
$\overline {z_1 \times z_2} = \bar z_1 \times \bar z_2$
$\overline {\left (\frac {z_1} {z_2}\right )} = \frac {\bar z_1} {\bar z_2}$

Par extension à la multiplication, nous pouvons aussi calculer le nombre complexe conjugué d'un nombre complexe à la puissance $n\in\mathbb{N}$ :

$\overline {{z^n}} = {\left ( \bar z \right )}^n$

Démonstrations

Démonstration

Soit $z_1 = x_1 + iy_1\,$ et $z_2 = x_2 + iy_2\,$ , on a:

Pour l'addition (et la soustraction) :
- $z_1 + z_2 = x_1 + iy_1 + x_2 + iy_2 = x_1 + x_2 + i(y_1 + y_2)\,$
- $\bar z_1 + \bar z_2 = x_1 - iy_1 + x_2 - iy_2 = x_1 + x_2 - i(y_1 + y_2)$
- $\overline {z_1 + z_2} = \overline {x_1 + iy_1 + x_2 + iy_2} = \overline {x_1 + x_2 + i(y_1 + y_2)} = x_1 + x_2 - i(y_1 + y_2)$
Pour la multiplication (et la puissance) :
- $z_1 \times z_2 = (x_1 + iy_1) \times (x_2 + iy_2) = x_1x_2 - y_1y_2 + i(x_1y_2 + x_2y_1)$
- $\bar z_1 \times \bar z_2 = (x_1 - iy_1) \times (x_2 - iy_2) = x_1x_2 - y_1y_2 - i(x_1y_2 + x_2y_1)$
- $\overline {z_1 \times z_2} = \overline {(x_1 + iy_1) \times (x_2 + iy_2)} = \overline {x_1x_2 - y_1y_2 + i(x_1y_2 + x_2y_1)} = x_1x_2 - y_1y_2 - i(x_1y_2 + x_2y_1)$
Pour la division :
- $\frac {z_1} {z_2} = \frac {x_1 + iy_1} {x_2 + iy_2} = \frac {(x_1 + iy_1) \times (x_2 - iy_2)} {(x_2 + iy_2) \times (x_2 - iy_2)} = \frac {x_1x_2 + y_1y_2 + i(- x_1y_2 + x_2y_1)} {{x_2}^2 + {y_2}^2}$
- $\frac {\bar z_1} {\bar z_2} = \frac {\overline {x_1 + iy_1}} {\overline{x_2 + iy_2}} = \frac {x_1 - iy_1} {x_2 - iy_2} = \frac {(x_1 - iy_1) \times (x_2 + iy_2)} {(x_2 - iy_2) \times (x_2 + iy_2)} = \frac {x_1x_2 + y_1y_2 + i(x_1y_2 - x_2y_1)} {{x_2}^2 + {y_2}^2}$
- $\overline {\left (\frac {z_1} {z_2}\right )} = \overline {\left (\frac {x_1 + iy_1} {x_2 + iy_2}\right )} = \overline {\left (\frac {(x_1 + iy_1) \times (x_2 - iy_2)} {(x_2 + iy_2) \times (x_2 - iy_2)}\right )} = \overline {\left (\frac {x_1x_2 + y_1y_2 + i(- x_1y_2 + x_2y_1)} {{x_2}^2 + {y_2}^2}\right )}= \frac {x_1x_2 + y_1y_2 + i(x_1y_2 - x_2y_1)} {{x_2}^2 + {y_2}^2}$

Exemples

Soit $z_1 = 3 + i\,$ et $z_2 = -2 - 5i\,$ , le conjugué de $z_1 \times z_2$ est :

Première méthode

$\overline {z_1 \times z_2} = \overline {(3 + i) \times (-2 - 5i)} = \overline {-6 - 15i - 2i + 5} = \overline {-1 - 17i} = -1 + 17i$

Seconde méthode

$\overline {z_1 \times z_2} = \overline {(3 + i)} \times \overline {(-2 - 5i)} = (3 - i) \times (-2 + 5i) = -6 + 15i + 2i + 5 = -1 + 17i$
Les deux méthodes conduisent donc bien au même résultat.

[modifier] Expression des parties réelle et imaginaire avec le conjugué

Au lieu de séparer parties réelle et imaginaire pour mettre un nombre complexe sous forme algébrique, nous pouvons les calculer directement grâce à ces formules.

Propriété

Pour $z=x+iy\,$
La partie réelle est $\Re(z)=\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar z}2$
et la partie imaginaire est $\Im(z)=\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar z}{2i}$

Démonstration

Démonstration

La démonstration est simple, pour $z=x+iy\,$ , il suffit de faire l'addition de $z+\bar z$ pour obtenir la partie réelle et la soustraction $z-\bar z$ pour obtenir la partie imaginaire.
$z+\bar z=x+iy+x-iy=2x=2\Re(z)$
$z-\bar z=x+iy-(x-iy)=2iy=2i\Im(z)$