Nombre complexe/Écriture exponentielle et trigonométrique

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**Écriture exponentielle et trigonométrique**
Leçon : Nombre complexe

Chapitre 6
Chap. préc. :	Module et argument
Chap. suiv. :	Équations

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Nombre complexe : Écriture exponentielle et trigonométrique
Nombre complexe/Écriture exponentielle et trigonométrique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Comme nous l'avions dit lors de la définition cartésienne des complexes, il existe une seconde forme d'écriture des complexes.

[modifier] Propriétés algébriques de l'argument

Définition

L'argument du produit de nombres complexes est la somme de leurs arguments :

Si $arg(z_1)=\theta_1\ [2\pi]$

et $arg(z_2)=\theta_2\ [2\pi]$

alors $arg \left( z_1 \times z_2 \right) = \theta_1 + \theta_2\ [2\pi]$

Démonstrations

Une démonstration géométrique

Considérons un nombre complexe $z 1$ , alors $z=r(cos(\theta)+i.sin(\theta))\,$ .

$z\times 1 = z$ donc l'effet de la multiplication par $z 1$ sur le premier vecteur de base $\overrightarrow{u}$ est une rotation d'angle $\theta\,$ .

$z_1\times i=r(-sin(\theta)+i.cos(\theta))=r(cos(\theta+\frac{\pi}{2})+i.sin(\theta+\frac{\pi}{2}\,$

donc l'effet de la multiplication par

z 1

sur le second vecteur de base $\overrightarrow{v}$ est également une rotation d'angle $\theta\,$

Soit vecteur quelconque $\overrightarrow{OM}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ .

La multiplication par $z_1\,$ étant distributive, son effet sur le vecteur $\overrightarrow{OM}$ est encore une rotation d'angle $\theta\,$ .

Soit un nombre complexe $z_2=a+i.b\,$ avec $a r g (z 2) = θ 2$

alors $arg(z_1\times z_2)$ est donc $θ 1 + θ 2$

Démonstration (avec la forme exponentielle)

Soit $z_1 = \rho_1\times e^{i(\theta_1 + 2k_1\pi)}$ et $z_2 = \rho_2\times e^{i(\theta_2 + 2k_2\pi)}$ avec $(\rho_1,\rho_2) \in{\mathbb{R}}^2, (\theta_1,\theta_2) \in{[0;\pi]}^2, (k_1,k_2) \in{\mathbb{Z}}^2$ .

$\begin{matrix}z_3 &=& z_1 \times z_2 &=& \rho_1\times e^{i(\theta_1 + 2k_1\pi)} \times \rho_2\times e^{(i\theta_2 + 2k_2\pi)} \\ & & &=& \rho_1\times\rho_2 \times e^{i(\theta_1 + 2k_1\pi + \theta_2 + 2k_2\pi)} \\ & & &=& \rho_1\times\rho_2 \times e^{i(\theta_1 + \theta_2 + 2(k_1 + k_2)\pi)} \\ &=& \rho_3 \times e^{i(\theta_3 + 2k_3\pi)}\end{matrix}$

On a bien les trois propriétés vérifiées puisque $z_3\,$ est un nombre complexe, son argument est égal à la somme des arguments des deux nombres complexes que l'on a multiplié et son module est égal au produit des modules des deux nombres complexes que l'on a multiplié.

Démonstration (avec la forme trigonométrique)

Soit $z_1 = \rho_1 \times (\cos{(\theta_1)} + i\sin{(\theta_1)})$ et $z_2 = \rho_2 \times (\cos{(\theta_2)} + i\sin{(\theta_2)})$ avec $(\rho_1,\rho_2) \in{\mathbb{R}}^2, (\theta_1,\theta_2) \in{[0;\pi]}^2,$ on prend $(k_1,k_2) = 0\,$ pour simplifier les calculs.

$\begin{matrix}z_3 &=& z_1 \times z_2 &=& \rho_1\times (\cos{(\theta_1)} + i\sin{(\theta_1)}) \times \rho_2\times (\cos{(\theta_2)} + i\sin{(\theta_2)}) \\ & & &=& \rho_1\rho_2 \times [(\cos{(\theta_1)} \cos{(\theta_2)} - \sin{(\theta_1)} \sin{(\theta_2)}) + i(\sin{(\theta_1)} \cos{(\theta_2)} + \cos{(\theta_1)} \sin{(\theta_2)})] \\ & & &=& \rho_1\rho_2 \times [\cos{(\theta_1 + \theta_2)} + i \sin{(\theta_1 + \theta_2)}] \\ &=& \rho_3 [\cos{(\theta_3)} + i \sin{(\theta_3)}]\end{matrix}$

Nous passons de la deuxième à la troisième ligne en utilisant les formules de trigonométrie ce qui nous donne:

$\cos{(a + b)} = \cos{a} \times \cos{b} - \sin{a} \times \sin{b}$
$\sin{(a + b)} = \sin{a} \times \cos{b} + \cos{a} \times \sin{b}$

On a donc $z_3 = \rho_3 [\cos{(\theta_3)} + i \sin{(\theta_3)}]\,$ et nous pouvons faire la même remarque.

[modifier] Notation exponentielle

Définition

Soit $z\,$ un nombre complexe, son module $r$ et un argument $θ$ . La forme exponentielle de $z$ est :

$z = r\times e^{i\theta}$ .

Propriété

En comparant cette écriture à la forme trigonométrique

$z = r(\cos{(\theta)} + i\sin{(\theta)})\,$ ,

on en déduit $e^{i\theta} = \cos{(\theta)} + i\sin{(\theta)}\,$ .

Illustration des exemples

Écriture exponentielle et trigonométrique : Écrire un complexe sous ses différentes formes

1) Soit $z = 4\sqrt{3} + 4i$ , écrire ce complexe sous forme exponentielle et trigonométrique :

Calcul du module : $\rho = |z| = \sqrt{{4\sqrt{3}}^2 + {4}^2} = \sqrt{48 + 16} = 8$
Calcul de l'argument : $\begin{cases} \cos{(\theta)} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin{(\theta)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{cases}$ d'où $\theta = \frac{\pi}{6}$

Donc $z = 8e^{\left(i\frac{\pi}{6}\right)} = 8(\cos{\left(\frac{\pi}{6}\right)} + i\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)})$

2) Soit $\rho = 3\,$ et $\theta = \frac{2\pi}{3}$ , écrire ce complexe sous forme cartésienne.

Calcul de la partie réelle : $\begin{matrix}x &=& \rho \times \cos{(\theta)} = 3 \times \cos{\left(\frac{2\pi}{3}\right)} \\ \ &=& 3 \times \left(\frac{-1}{2}\right) = -\frac{3}{2}\end{matrix}$
Calcul de la partie imaginaire : $\begin{matrix}y &=& \rho \times \sin{(\theta)} = 3 \times \sin{\left(\frac{2\pi}{3}\right)} \\ \ &=& 3 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}\end{matrix}$

D'où $z = -\frac{3}{2} + \frac{3i\sqrt{3}}{2}$

[modifier] Propriétés des arguments et des modules

Propriété

Pour l'argument, si $arg(z) = \theta + 2k\pi\,$ alors :

$arg(\bar z) = - \theta + 2k\pi$
$arg(-z) = \theta + \pi + 2k\pi\,$
$arg({z}^n) = n \times \theta + 2nk\pi = n \times \theta + 2k\pi$ avec $n \in\mathbb{Z}$
$arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \theta_1 - \theta_2 + 2k\pi$

Pour le module,

$|z| = |\bar z| = |-z|$
$|{z}^n| = {|z|}^n\,$ avec $n \in\mathbb{Z}$
$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

Illustration des exemples

Propriétés des arguments et des modules : Exemple sur les propriétés

Soit $z = 2 e^{\left(i\frac{\pi}{4}\right)}$ , calculer :

$\bar z = \overline {2 e^{\left(i\frac{\pi}{4}\right)}} = 2 e^{\left(-i\frac{\pi}{4}\right)}$
$-z = -\left(2 e^{\left(i\frac{\pi}{4}\right)}\right) = e^{\left(i\pi\right)} 2 e^{\left(i\frac{\pi}{4}\right)} = 2 e^{\left(i\frac{\pi}{4} + \pi\right)} = 2 e^{\left(i\frac{5\pi}{4}\right)}$
${z}^3 = {2}^3 e^{\left(i\frac{\pi}{4}\times 3 \right)} = 8 e^{\left(-i\frac{3\pi}{4}\right)}$

On peut aussi utiliser ces propriétés pour calculer exactement un cosinus ou un sinus d'un angle. Il suffit de :

Décomposer l'angle en somme de deux angles
Prendre un module de 1 (pour que le point soit sur le cercle trigonométrique)
Utiliser la propriété de la multiplication des nombres complexes
- Donner $z = e^{(i\theta)} = \cos{(\theta)} + i\sin{(\theta)}\,$ où $\theta\,$ est notre angle
- Trouver les valeurs algébriques (cartésiennes) des deux nombres complexes que nous avons fabriqués
- Multiplier ces deux nombres complexes sous leur forme algébrique
Séparer les parties réelles et imaginaires en rappelant la définition de l'égalité de deux nombres complexes

Utilisation des propriétés : Déterminer la valeur exacte d'un cosinus et d'un sinus d'un angle

On veut déterminer $\cos{\frac{7\pi}{12}}$ et $\sin{\frac{7\pi}{12}}$ .
On peut dire que $\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$ et que $\rho = 1\,$
On a donc $z_1 = e^{\left(i\frac{\pi}{3}\right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{3}\right)} + i\sin{\left(\frac{\pi}{3}\right)}$ et $z_2 = e^{\left(i\frac{\pi}{4}\right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)} + i\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}$
$z_1 \times z_2 = \begin{cases} e^{\left(i\frac{\pi}{3}\right)} \times e^{\left(i\frac{\pi}{4}\right)} \\ (\cos{\left(\frac{\pi}{3}\right)} + i\sin{\left(\frac{\pi}{3}\right)}) \times (\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)} + i\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}) \end{cases}$
D'où $e^{(i\frac{7\pi}{12})} = \cos{\frac{7\pi}{12}} + i\sin{\frac{7\pi}{12}}$

De plus, si on fait les calculs, $z_1 = \frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i\sqrt{2}}{2}$ .
D'où $z_1 \times z_2 = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} + i \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Par identification, $\begin{cases} \mbox{Re}: \cos{\frac{7\pi}{12}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \\ \mbox{Im}: \sin{\frac{7\pi}{12}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \end{cases}$