Monoïde/Définitions

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Définitions
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Chapitre 1
Leçon : Monoïde
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Sommaire

[modifier] Définition

Définition

Un monoïde est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre, noté e.

Un monoïde est donc un magma.

Désormais, on travaille avec un monoïde (E,\ast).


Définition

Soit A une partie non vide de E.

A est un sous-monoïde de E ssi

  • e\in A
  • \forall(x,y)\in A,~x\ast y\in A


Propriété

Toute intersection de sous-monoïdes est un sous-monoïde.

[modifier] Partie génératrice, base

[modifier] Partie génératrice

Définition

Soit P une partie de E. Le sous-monoïde engendré par P est l'intersection de tous les sous-monoïdes de E contenant P. C'est ainsi le plus petit sous-monoïde de E contenant P.. Il est noté P^*\,


Théorème

Le monoïde engendré par P est P^*=\{a_1\ast\cdots\ast a_k/k\in\mathbb N,~\forall i,a_i\in P\}


Définition

P est génératrice de E lorsque P^*=E\,

[modifier] Base

Définition

Soit B une partie génératrice de E.

E est libre de base B lorsque tout élément de E peut s'écrire de manière unique comme composée d'éléments de B.

[modifier] Morphisme de monoïdes

Définition

Soient (E,\ast) et (F,\cdot) deux monoïdes, de neutres respectifs eE et eF, et \varphi une application de E dans F.

\varphi est un morphisme de monoïdes ssi \begin{cases}\varphi(e_E)=e_F\\\forall(x,y)\in E^2,~\varphi(x\ast y)=\varphi(x)\cdot\varphi(y)\end{cases}
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