Matrice/Exponentielle d'une matrice

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**Exponentielle d'une matrice**
Leçon : Matrice

Chapitre 14
Chap. préc. :	Norme
Chap. suiv. :	Analyse matricielle

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Matrice : Exponentielle d'une matrice
Matrice/Exponentielle d'une matrice », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

L'exponentielle matricielle n'est définie que pour les matrices carrées. On se limitera ici aux matrices réelles ou complexes.

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Calculs d'exponentielles matricielles
4 Utilisation des exponentielles de matrice

[modifier] Définition

Définition

Soit A une matrice carrée n × n. L'exponentielle de A, notée $exp(\mathbf A)$ ou $e A$ est la matrice définie par

$exp( \mathbf A)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\mathbf A ^k}{k!}$

Démonstration de l'existence de l'exponentielle

On démontre que la série $\sum \frac{A^k}{k!}$ converge normalement.

Toutes les normes étant équivalentes, on peut utiliser une norme subordonnée. Rappel : une norme subordonnée vérifie

$|||A \cdot B||| \leq |||A||| . |||B|||$ donc en particulier $|||A^k||| \leq |||A|||^k$

Ainsi $\left| \left| \left| \frac{A^k}{k!} \right| \right| \right| \leq \frac{|||A|||^k}{k!}$ . Et comme la série $\sum \frac{|||A|||^k}{k!}$ converge (série exponentielle dans $\mathbb C$ ), on a bien convergence normale de la série $\sum A^k$

[modifier] Propriétés

Propriétés

Soient A et B deux matrices carrées n x n

$e x p (0) = I n$
Si $A = d i a g (a 1, a 2,..., a n)$ , alors $exp(A)=diag(e^{a_1}, e^{a_2}, ... , e^{a_n})$
S'il existe $P\in GL_n(\mathbb{K})$ tel que $A=P\cdot B\cdot P^{-1}$ , alors $exp(A)=P\cdot exp(B) \cdot P^{-1}$
Si A et B commutent, alors $exp(A + B) = exp(A) \cdot exp(B)$
$d e t (e A) = e x p (t r (A))$

Démonstration

Les 2 premières propriétés sont évidentes.

La 4ème se montre comme pour les exponentielles réelles ou complexes

Pour la 3ème : on remarque juste que $A^n=P\cdot B^n \cdot P^{-1}$ et que la multiplication est une application continue (pour passage à la limite)

Pour la dernière : A compléter

Théorème

L'exponentielle d'une matrice A est toujours inversible et son inverse vaut $e - A$ .

Démonstration

il suffit de remarquer que -A commute avec A donc $exp(A) \cdot exp(-A) = exp(A-A) = e^0 = I_n$

[modifier] Calculs d'exponentielles matricielles

Matrices diagonalisables

Soit A une matrice diagonalisable telle que $A=P \cdot \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \cdot P^{-1}$ , alors

$exp(A)=P \cdot \begin{pmatrix} e^{a_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e^{a_2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{a_n} \end{pmatrix} \cdot P^{-1}$

Matrices nilpotentes

Soit A une matrice nilpotente, c'est-à-dire telle que $\exists q \in [| 1, n |] \text{ tq } A^q=0$ , alors l'exponentielle se transforme en somme finie et

$exp(A)=\sum_{k=0}^q \frac{A^k}{k!}$

Généralisation

Soit A une matrice, on la réduit sous la forme de Jordan. Puis on exponentialise dans chaque sous-espace propre en utilisant les 2 méthodes ci-dessus (A compléter)

[modifier] Utilisation des exponentielles de matrice

Les exponentielles matricielles sont principalement utilisées pour la résolution d'équations différentielles linéaires

Matrice

Norme

Analyse matricielle

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Sommaire

[modifier] Définition

[modifier] Propriétés

[modifier] Calculs d'exponentielles matricielles

[modifier] Utilisation des exponentielles de matrice

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