Matrice/Exercice/Produit matriciel

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Produit matriciel
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Exercice 1
Leçon : Matrice
Chapitre du cours : Produit matriciel

Cet exercice est de niveau 13.
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Matrice/Exercice/Produit matriciel  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ces quelques questions permettent de vous entraîner à utiliser le produit matriciel. Les solutions vous permettent de vérifier vos résultats.

[modifier] Produit matriciel : possible ou pas ?

Soit quatre matrices A, B, C et D telles que

\mathbf A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

\mathbf \mathbf B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 3 & 3 \\ 9 & 5 \end{pmatrix}

\mathbf C= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 8 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\mathbf D = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}

1. Quels sont les produits matriciels réalisables ?

2. Effectuer les produits matriciels réalisables.

Solution

1. Je peux faire :

  • C · A, car C à autant de colonnes que A a de lignes ;
  • A · B, car A à autant de colonnes que B a de lignes ;
  • B · D, car B à autant de colonnes que D a de lignes ;
  • D · D, car D à autant de lignes que de colonnes.

2.

\begin{align} \mathbf C \cdot \mathbf A &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 8 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 \times 0 + 8 \times 1 + 0 \times 3 & 0 \times 1 + 1 \times 5 + 0 \times 5 & 0 \times 3 + 1 \times 0 + 3 \times 1 & 0 \times 0 + 1 \times 6 + 3 \times 1 \\ 8 \times 0 + 5 \times 8 + 0 \times 0 & 8 \times 1 + 5 \times 5 + 0 \times 0 & 8 \times 3 + 5 \times 0 + 0 \times 1 & 8 \times 0 + 5 \times 6 + 0 \times 1 \\ 0 \times 0 + 0 \times 8 + 1 \times 0 & 0 \times 1 + 0 \times 5 + 1 \times 0 & 0 \times 3 + 0 \times 0 + 1 \times 1 & 0 \times 0 + 0 \times 6 + 1 \times 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 + 8 + 0 & 0 + 5 + 0 & 0 + 0 + 3 & 0 + 6 + 3 \\ 0 + 40 + 0 & 8 + 25 + 0 & 24 + 0 + 0 & 0 + 30 + 0 \\ 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 1 & 0 + 0 + 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 8 & 5 & 3 & 9 \\ 40 & 33 & 24 & 30 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{align}
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