Maple Home Edition c04/Théorème de Rolle
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| Chapitre no2 | |||
| Leçon : Maple Home Edition c04 | |||
|---|---|---|---|
| Chap. préc. : | Théorème des accroissement finis | ||
| Chap. suiv. : | Méthode de Newton | ||
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Sommaire |
Présentation [modifier]
Nous allons travailler sur le théorème de Rolle.
Ce travail se base sur le chapitre 4 de "Swokowski" "Analyse" "Calculus".
Étude [modifier]
Ex : f := x->x^3-12*x; [modifier]
Le code Maple
#
# Soit f :
> restart:
> with(plots):
> with(plottools):
>
> f := x->x^3-12*x;
#
# Définie sur :
> a := 0:
> b := 2*sqrt(3):
> i := a..b;
#
# f est une fonction polynomiale,
# elle est continue et dérivable pour tout les x,
# et en particulier sur i :
#
# Remarque :
> `f(`||a||`)`=f(a);
> `f(`||b||`)`=f(b);
#
# Donc f(a) = f(b)
# Toutes les hypothèses du théorème de Rolle sont donc satisfaites.
# Il existe donc au moins un nombre c tel que f '(c) =0.
# Pour trouver ce nombre, il nous faut :
#
# Calculer la dérivé de f :
> diff(f(x),x);
#
# Puis chercher les valeurs qui annulent la dérivé :
> sort([solve(%)]);
#
# Et enfin vérifier celles qui appartiennent à l'ensemble de définition.
# Seule la valeur :
> c := op(2,%);
# appartient à l'ensemble de définition
#
#
# Faisons une représentation graphique du problème :
> p := point([a,f(a)],color=blue,symbol=circle),
> point([b,f(b)],color=blue,symbol=circle),
> point([c,f(c)],color=black,symbol=circle),
> textplot([a,f(a), ` A`],align={BELOW,RIGHT}),
> textplot([b,f(b), ` B`],align={BELOW,RIGHT}),
> textplot([c,f(c), ` C`],align={above}):
>
> G_Plot := plot({f,f(c)},i):
>
> plots[display](p,G_Plot);
#
Ex : f := x->x^2-x+1; [modifier]
Le code Maple
#
#
# Soit f :
> restart:
> with(plots):
> with(plottools):
>
> f := x->x^2-x+1;
#
# Définie sur :
> a := -1:
> b := 2:
> i := a..b;
#
# f est une fonction polynomiale,
# elle est continue et dérivable pour tout les x,
# et donc en particulier sur i :
#
# Remarque :
> `f(`||a||`)` = f(a);
> `f(`||b||`)` = f(b);
#
# Donc f(a) = f(b)
# Toutes les hypothèses du théorème de Rolle sont donc satisfaites.
# Il existe donc au moins un nombre c tel que f '(c) =0.
# Pour trouver ce nombre, il nous faut :
#
# Calculer la dérivé de f :
> diff(f(x),x);
#
# Puis chercher les valeurs qui annulent la dérivé :
> sort([solve(%)]);
#
# Et enfin vérifier celles qui appartiennent à l'ensemble de définition.
# Seule la valeur :
> c := op(1,%);
# appartient à l'ensemble de définition
#
#
# Faisons une représentation graphique du problème :
> p := point([a,f(a)],color=blue,symbol=circle),
> point([b,f(b)],color=blue,symbol=circle),
> point([c,f(c)],color=black,symbol=circle),
> textplot([a,f(a), ` A`],align={BELOW,RIGHT}),
> textplot([b,f(b), ` B`],align={BELOW,RIGHT}),
> textplot([c,f(c), ` C`],align={above}):
>
> G_Plot := plot({f,f(c)},i,0..4):
>
> plots[display](p,G_Plot);
#
>
Ex : f := x->(x^2-3*x)/(x+3); [modifier]
Le code Maple
#
#
# Soit f :
> restart:
> with(plots):
> with(plottools):
>
> f := x->(x^2-3*x)/(x+3);
#
# Définie sur :
> a := 0:
> b := 3:
> i := a..b;
#
# f est discontinue pour x = -3,
# mais cette valeur n'appartient pas à l'intervalle i.
#
# Calculons la dérivé de f :
> `f'` := diff(f(x),x);
#
# f ' est discontinue pour x = -3,
# mais cette valeur n'appartient pas à l'intervalle i.
#
# Donc f est continue et dérivable pour tout les x sur i :
#
# Remarque :
> `f(`||a||`)` = f(a);
> `f(`||b||`)` = f(b);
#
# Donc f(a) = f(b)
# Toutes les hypothèses du théorème de Rolle sont donc satisfaites.
# Il existe donc au moins un nombre c tel que f '(c) =0.
# Pour trouver ce nombre, il nous faut :
#
# A partir de la dérivé de f :
> `f'`;
#
# Chercher les valeurs qui l'annulent :
> sort([solve(%)]);
#
# Choisir les valeurs qui appartiennent à l'intervalle i :
> c := op(2,%);
#
# Puis il suffit de faire une représentation graphique :
> p := point([a,f(a)],color=blue,symbol=circle),
> point([b,f(b)],color=blue,symbol=circle),
> point([c,f(c)],color=black,symbol=circle),
> textplot([a,f(a), ` A`],align={BELOW,RIGHT}),
> textplot([b,f(b), ` B`],align={BELOW,RIGHT}),
> textplot([c,f(c), ` C`],align={above}):
>
> G_Plot := plot({f,f(c)},i):
>
> plots[display](p,G_Plot);
#
