Loi de Kirchhoff/Pont diviseur de courant

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**Pont diviseur de courant**
Leçon : Loi de Kirchhoff

Chapitre 4
Chap. préc. :	Pont diviseur de tension

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Loi de Kirchhoff/Pont diviseur de courant », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Généralités

Propriété

La formule du diviseur de courant permet de calculer l'intensité du courant dans une résistance lorsque celle-ci fait partie d'un ensemble de résistances en parallèle et lorsque l'on connaît le courant total qui alimente cet ensemble.

[modifier] Applications

[modifier] En courant continu : 2 résistances

Dans cet exemple deux résistances sont branchées en parallèle, elles sont donc soumises à la même tension $\scriptstyle {\color{Blue}U}\;$ à leurs bornes.

On connaît l'intensité du courant qui traverse le groupe de résistance : $\scriptstyle {\color{Red}I}\;$ .

On souhaite calculer l'intensité du courant qui traverse une seule résistance : $\scriptstyle {\color{Red}I_1}\;$ .

En utilisant le pont diviseur de courant, on en déduit que :

$I_1 = \frac {R_2}{R_1 + R_2} \times I\;$

ou de même :

$I_1 = \frac {G_1}{G_1 + G_2} \times I\;$ (G étant la conductance = $\textstyle \frac {1}{R}\;$ )

Démonstration avec les résistances

D'après le cours sur l'association des résistances, la résistance équivalente, pour deux résistances en parallèle, est égal à :

$R_{eq} = \frac {R_1 \times R_2 }{ R_1 + R_2 }$

On se retrouve donc avec une résistance ( $\scriptstyle R_{eq}\;$ ) traversée par le courant $\scriptstyle I\;$ , avec la tension $\scriptstyle U\;$ appliquée à ses bornes. D'après la loi d'Ohm :

$U = R_{eq} \times I\;$

Soit :

$U = \frac {R_1 \times R_2 }{ R_1 + R_2 } \times I\;$

Sur le montage ci-dessus, on trouve que $\textstyle U = R_1 \times I_1\;$ , donc :

$R_1 \times I_1 = \frac {R_1 \times R_2 }{R_1 + R_2} \times I\;$

On simplifie par $\scriptstyle R_1\;$ :

$I_1 = \frac {R_2}{R_1 + R_2} \times I\;$

Démonstration avec les conductances

Sur le même principe que pour les résistances, on déduit la conductance équivalente, pour 2 conductances en parallèle, qui est égal à :

$G_{eq} = \frac 1 { G_1 + G_2 }$

On se retrouve donc avec une conductance ( $\scriptstyle G_{eq}\;$ ) traversée par le courant $\scriptstyle I\;$ , avec la tension $\scriptstyle U\;$ appliquée à ses bornes. D'après la loi d'Ohm :

$U = G_{eq} \times I\;$

Soit :

$U = \frac 1 { G_1 + G_2 } \times I\;$

Sur le montage ci-dessus et d'après la loi d'Ohm pour les conductances, on trouve que $\textstyle U = \frac {I_1}{G_1}\;$ , donc :

$\frac {I_1}{G_1} = \frac 1 { G_1 + G_2 } \times I\;$

On simplifie par $\scriptstyle G_1\;$ :

$I_1 = \frac {G_1}{G_1 + G_2} \times I\;$

[modifier] En courant continu : plusieurs dipôles

Dans le cas de trois résistances ou plus en parallèle, on utilise la même méthode. Les résistances sont toujours soumises à la même tension $\scriptstyle {\color{Blue}U}\;$ à leurs bornes.

On connaît l'intensité du courant qui traverse le groupe de résistance : $\scriptstyle {\color{Red}I}\;$ .

On souhaite calculer l'intensité du courant qui traverse une seule résistance : $\scriptstyle {\color{Red}I_1}\;$ .

En utilisant le pont diviseur de courant, on en déduit que :

$I_1 = \frac 1 { 1 + \frac {R_1}{R_2} + \frac {R_1}{R_3}} \times I\;$

ou de même :

$I_1 = \frac {G_1}{G_1 + G_2 + G_3} \times I\;$ (G étant la conductance = $\textstyle \frac {1}{R}\;$ )

Conclusion : avec trois résistances ou plus, il est donc conseillé d'utiliser les conductances pour obtenir une formule moins compliquée.

Démonstration avec les résistances

D'après le cours sur l'association des résistances, la résistance équivalente, pour trois résistances en parallèle, est égal à :

$R_{eq} = \frac 1 { \frac 1 {R_1} + \frac 1 {R_2} + \frac 1 {R_3}}$

On se retrouve donc avec une résistance ( $\scriptstyle R_{eq}\;$ ) traversée par le courant $\scriptstyle I\;$ , avec la tension $\scriptstyle U\;$ appliquée à ses bornes. D'après la loi d'Ohm :

$U = R_{eq} \times I\;$

Soit :

$U = \frac 1 { \frac 1 {R_1} + \frac 1 {R_2} + \frac 1 {R_3}} \times I\;$

Sur le montage ci-dessus, on trouve que $\textstyle U = R_1 \times I_1\;$ , donc :

$R_1 \times I_1 = \frac 1 { \frac 1 {R_1} + \frac 1 {R_2} + \frac 1 {R_3}} \times I\;$

On simplifie par $\scriptstyle R_1\;$ :

$I_1 = \frac 1 { 1 + \frac {R_1}{R_2} + \frac {R_1}{R_3}} \times I\;$ ou alors $I_1 = \frac {R_2R_3} {R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3} \times I\;$

Démonstration avec les conductances

Sur le même principe que pour les résistances, on déduit la conductance équivalente, pour trois conductances en parallèle, qui est égale à :

$G_{eq} = \frac 1 { G_1 + G_2 + G_3 }$

On se retrouve donc avec une conductance ( $\scriptstyle G_{eq}\;$ ) traversée par le courant $\scriptstyle I\;$ , avec la tension $\scriptstyle U\;$ appliquée à ses bornes. D'après la loi d'Ohm :

$U = G_{eq} \times I\;$

Soit :

$U = \frac 1 { G_1 + G_2 + G_3 } \times I\;$

Sur le montage ci-dessus et d'après la loi d'Ohm pour les conductances, on trouve que $\textstyle U = \frac {I_1}{G_1}\;$ , donc :

$\frac {I_1}{G_1} = \frac 1 { G_1 + G_2 + G_3 } \times I\;$

On simplifie par $\scriptstyle G_1\;$ :

$I_1 = \frac {G_1}{G_1 + G_2 + G_3} \times I\;$

[modifier] En courant sinusoïdal

Le même raisonnement peut s'appliquer pour un ensemble d'impédances en parallèle à condition de remplacer les conductances $G \,$ par les admittances complexes $\underline Y \,$ et de remplacer les intensités $I \,$ et $I_2\,$ par les nombres complexes associés $\underline I \,$ et $\underline I_2\,$ (voir transformation complexe).