Loi (mathématiques)

Une page de Wikiversité.

Le terme de loi est assez vague et peut recouvrir beaucoup de notions très différentes. Il est donc difficile d'en donner une définition satisfaisante qui ne soit pas trop vague et qui recouvre tous les types de loi.

Sommaire

[modifier] Première définition d'une loi

Définition

Soient A, B, C trois ensembles.
On appelle loi, une application du produit cartésien A x B dans C.

Cette définition sert peu et n'apporte pas grand chose donc nous ne nous attarderons pas dessus.

[modifier] Loi interne

[modifier] Définition

Définition

Soit A un ensemble.
On appelle loi interne, une application de A x A dans A.
Si * est une loi interne, on note x*y l'image de (x, y) par *.

Exemples :

Voici quelques applications qui sont des lois internes.

  • \begin{matrix}f : & \mathbb{R}\times\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & (x,y) & \mapsto & x+y\\ \end{matrix}
  • \begin{matrix}g : & \mathbb{R}\times\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & (x,y) & \mapsto & x*y\\ \end{matrix}
  • \begin{matrix}h : & ]-1,1[^2 & \rightarrow & ]-1,1[ \\ & (x,y) & \mapsto & \frac{x+y}{1+xy}\\ \end{matrix}

[modifier] Loi commutative

Définition

Soit A un ensemble.
Soit * une loi interne sur A.
* est dite commutative si \forall (x,y) \in A^2 \ x*y=y*x

Exemples :

  • \begin{matrix}f : & \mathbb{R}\times\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & (x,y) & \mapsto & x+y\\ \end{matrix} est une loi interne commutative.
  • \begin{matrix}f : & \mathbb{R}\times\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & (x,y) & \mapsto & x-y\\ \end{matrix} est une loi interne mais n'est pas commutative.

[modifier] Loi interne transitive

Définition

Soit A un ensemble.
Soit * une loi interne sur A.
* est dite transitive si \forall (x,y,z) \in A^3 \ (x*y)*z=x*(y*z)

Exemples :

  • \begin{matrix}f : & \mathbb{R}\times\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & (x,y) & \mapsto & x+y\\ \end{matrix} est une loi interne transitive.
  • \begin{matrix}f : & \mathbb{R}\times\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & (x,y) & \mapsto & x-y\\ \end{matrix} est une loi interne mais n'est pas transitive.


[modifier] Loi externe

[modifier] Définition

Définition

Soit A un ensemble.
On appelle loi externe, une application de K x A dans A, où K est un ensemble.
Si * est une loi externe, on note λ*y l'image de (λ, y) par *.

Exemples :

Voici un exemple d'application qui est une loi externe.

  • \begin{matrix}f : & \mathbb{R}\times\mathbb{R}^{2} & \rightarrow & \mathbb{R}^{2} \\ & (\lambda,u) & \mapsto & \lambda u\\ \end{matrix}
Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/Loi_(math%C3%A9matiques) »