Logique de base/Exercice/Algèbre de Boole

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**Algèbre de Boole**
Leçon : Logique de base

Exercice 1
Chapitre du cours :	Algèbre de Boole
Cet exercice est de niveau 10.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Algèbre de Boole
Logique de base/Exercice/Algèbre de Boole », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Réduire les équations en utilisant les propriétés de l'algèbre de Boole:

[modifier] Exercice 1

[modifier] Équation 1

a + a . b

Solution

a + a . b

Je factorise par rapport à a dans tous les termes:
= a ( 1 + b )
= a . 1
= a

a + a . b = a

[modifier] Équation 2

a . ( a + b )

Solution

a . ( a + b )

Je développe a par rapport à la parenthèse :
= a.a + a.b
= a + a.b
Je factorise par rapport à a dans tous les termes: = a . ( 1+b )
= a . 1
= a

a . ( a + b ) = a

[modifier] Équation 3

a + $\bar a$ . b

Solution

a + $\bar a$ . b =

= ( a + $\bar a$ ) . ( a + b )
= 1 . ( a + b)
= a + b

a + $\bar a$ . b = a + b

[modifier] Équation 4

( a + b ) . ( a + $\bar b$ )

Solution

( a + b ) . ( a + $\bar b$ )

Je développe la première parenthèse avec la deuxième :
= a.a + a. $\bar b$ + b.a + b. $\bar b$
= a + a. $\bar b$ + a.b + 0
= a + a. $\bar b$ + a.b
Je factorise par rapport à a dans tous les termes:
= a ( 1 + $\bar b$ + b )
= a . 1
= a

( a + b ) . ( a + $\bar b$ ) = a

[modifier] Équation 5

( a + b ) . ( a + c )

Solution

( a + b ) . ( a + c )

Je développe la première parenthèse avec la deuxième :
= a.a + a.c + b.a + b.c
= a + a.c + a.b + b.c
Je factorise a dans tous les termes, sauf dans le dernier :
= a ( 1 + c + b ) + b.c
= a.1 + b.c
= a + b.c

( a + b ) . ( a + c ) = a + b.c

[modifier] Équation 6

( a + b ) . ( $\bar a$ + c )

Solution

( a + b ) . ( $\bar a$ + c )

Je développe la première parenthèse avec la deuxième :
= a. $\bar a$ + a.c + b. $\bar a$ + b.c
= 0 + ac + $\bar a$ .b + b.c

( a + b ) . ( $\bar a$ + c ) = ac + $\bar a$ .b + b.c

[modifier] Exercice 2

[modifier] Équation 1

P =(a+ $\bar b$ ) . (b+ $\bar c$ ) . (c+ $\bar a$ )

Solution

P =(a+ $\bar b$ ) . (b+ $\bar c$ ) . (c+ $\bar a$ )
On développe la première parenthèse avec la deuxième :
P =(a.b + a. $\bar c$ + $\bar b$ .b + $\bar b$ . $\bar c$ ) . (c+ $\bar a$ )
P =(a.b + a. $\bar c$ + 0 + $\bar b$ . $\bar c$ ) . (c+ $\bar a$ )
P =(a.b + a. $\bar c$ + $\bar b$ . $\bar c$ ) . (c+ $\bar a$ )
On développe la première parenthèse avec la deuxième :
P =a.b.c + a. $\bar c$ .c + $\bar b$ . $\bar c$ .c + a.b. $\bar a$ + a. $\bar c$ . $\bar a$ + $\bar b$ . $\bar c$ . $\bar a$ )
P =a.b.c + a.0 + $\bar b$ .0 + a. $\bar a$ .b + a. $\bar a$ . $\bar c$ + $\bar b$ . $\bar c$ . $\bar a$ )
P =a.b.c + 0 + 0 + 0.b + 0. $\bar c$ + $\bar a$ . $\bar b$ . $\bar c$ )
P =a.b.c + 0 + 0 + 0 + 0 + $\bar a$ . $\bar b$ . $\bar c$ )
P =a.b.c + $\bar a$ . $\bar b$ . $\bar c$ )

P =a.b.c + $\bar a$ . $\bar b$ . $\bar c$ )

[modifier] Équation 2

Q =(a+b+c) . (a+ $\bar b$ +c) . (a+ $\bar b$ + $\bar c$ )

Solution

Q =(a+b+c) . (a+ $\bar b$ +c) . (a+ $\bar b$ + $\bar c$ )
Je développe les deux premières parenthèses :
Q = ( a.a + a. $\bar b$ + a.c + b.a + b. $\bar b$ + b.c + c.a + c. $\bar b$ + c.c ) . (a+ $\bar b$ + $\bar c$ )
Q = ( a + a. $\bar b$ + a.c + a.b + 0 + b.c + a.c + $\bar b$ .c + c ) . (a+ $\bar b$ + $\bar c$ )
Q = ( a + a. $\bar b$ + a.c + a.b + b.c + $\bar b$ .c + c ) . (a+ $\bar b$ + $\bar c$ )
Dans la première parenthèse, je factorise a autant que possible et dans le reste, je factorise c autant que possible :
Q = [ a . ( 1 + $\bar b$ + c + b ) + c . ( b + $\bar b$ + 1 ) ] . (a+ $\bar b$ + $\bar c$ )
Q = ( a.1 + c.1 ) . (a+ $\bar b$ + $\bar c$ )
Q = ( a+c ) . (a+ $\bar b$ + $\bar c$ )
Q = a.a + a. $\bar b$ + a. $\bar c$ + c.a + c. $\bar b$ + c. $\bar c$
Q = a + a. $\bar b$ + a. $\bar c$ + a.c + $\bar b$ .c + 0
Q = a + a. $\bar b$ + a. $\bar c$ + a.c + $\bar b$ .c
Je factorise a autant que possible Q = a.( 1 + $\bar b$ + $\bar c$ + c ) + $\bar b$ .c
Q = a.1 + $\bar b$ .c
Q = a + $\bar b$ .c

Q = a + $\bar b$ .c

[modifier] Équation 3

T = a.b.c + a. $\bar b$ .c + a.b. $\bar c$

Solution

T = a.b.c + a. $\bar b$ .c + a.b. $\bar c$
On factorise a dans les 3 termes :
T = a . ( b.c + $\bar b$ .c + b. $\bar c$ )
Dans la parenthèse, on factorise b dans le premier et le dernier terme :
T = a . [ b . ( c + $\bar c$ ) + $\bar b$ .c ]
T = a . [ b . 1 + $\bar b$ .c ]
T = a . ( b + $\bar b$ .c )
T = a . [ ( b + $\bar b$ ) . ( b + c ) ]
T = a . [ 1 . ( b + c ) ]
T = a . ( b + c )

T=a . ( b + c )

[modifier] Équation 4

U = ( $\bar a$ +b) . (a+b+d). $\bar d$

Solution

U = ( $\bar a$ +b) . (a+b+d). $\bar d$
Je développe la dernière parenthèse avec $\bar d$
U = ( $\bar a$ +b) . (a. $\bar d$ + b. $\bar d$ + d. $\bar d$ )
U = ( $\bar a$ +b) . (a. $\bar d$ + b. $\bar d$ + 0)
U = ( $\bar a$ +b) . (a. $\bar d$ + b. $\bar d$ )
Je développe les parenthèses
U = $\bar a$ .a. $\bar d$ + $\bar a$ .b. $\bar d$ + b.a. $\bar d$ + b.b. $\bar d$
U = 0. $\bar d$ + $\bar a$ .b. $\bar d$ + b.a. $\bar d$ + b. $\bar d$
U = $\bar a$ .b. $\bar d$ + a.b. $\bar d$ + b. $\bar d$ Je factorise b. $\bar d$ dans tous les termes :
U = (b. $\bar d$ ) . ( $\bar a$ +a+1)
U = (b. $\bar d$ ) . 1
U = (b. $\bar d$ )

U = (b. $\bar d$ )

[modifier] Équation 5

V =(a+b).(a+c) + (b+c).(b+a) + (c+a).(c+b)

Solution

Je développe les 3 groupes de 2 parenthèses chacune :
V = a.a + a.c + b.a + b.c + b.b + b.a + b.c + c.a + c.c + c.b + a.c + a.b
V = a + a.c + a.b + b.c + b + a.b + b.c + a.c + c + b.c + a.c + a.b
V = a + a.c + a.b + b.c + b + c
Je factorise a dans les 3 premiers termes et b dans les 2 termes suivants :
V = a ( 1 + c + b ) + b ( c + 1 ) + c
V = a.1 + b.1 + c
V = a + b + c

V = a + b + c

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Sommaire

[modifier] Exercice 1

[modifier] Équation 1

[modifier] Équation 2

[modifier] Équation 3

[modifier] Équation 4

[modifier] Équation 5

[modifier] Équation 6

[modifier] Exercice 2

[modifier] Équation 1

[modifier] Équation 2

[modifier] Équation 3

[modifier] Équation 4

[modifier] Équation 5

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