Limites d'une fonction/Fiches/Limites de référence

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Fiche-mémoire sur les limites de référence

Dans toute la fiche, $n\in\N^*$

[modifier] Fonctions polynomiales

	Si a>0 : $\color{Red}{\lim_{x\to+\infty} ax+b =+\infty}$		$\color{Red}{\lim_{x\to-\infty} ax+b =-\infty}$
	Si a<0 : $\color{Blue}{\lim_{x\to+\infty} ax+b =-\infty}$		$\color{Blue}{\lim_{x\to-\infty} ax+b =+\infty}$

	Si n est pair		Si n est impair
	$\lim_{x \to -\infty}x^n = +\infty$		$\lim_{x \to -\infty}x^n = -\infty$
	$\lim_{x \to +\infty}x^n = +\infty$		$\lim_{x \to +\infty}x^n = +\infty$

La limite en +∞ ou en -∞ d'une fonction polynomiale est la limite de son terme de plus haut degré.

[modifier] Fonction inverse

	$\lim_{x\to-\infty}\frac1{x^n}=0$		$\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^n}=0$
	$\lim_{x\to0^+}\frac1{x^n}=+\infty$		$\lim_{x\to0^-}\frac1{x^n}=-\infty$

[modifier] Fonction racine carrée

	$\lim_{x\to0}\sqrt x=0$
	$\lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty$

[modifier] Fonction logarithme et exponentielle

$\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty$		$\lim_{x\to -\infty}e^x=0$
$\lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$		$\lim_{x\to +\infty}e^x=+\infty$
$\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=0$		$\lim_{x\to -\infty}x^ne^x=0$
$\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x)}{x^n}=0$		$\lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty$

[modifier] Taux de variation

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}x=1$

$\lim_{x \to 0}\frac{\cos{x}-1}x=0$

$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}x=1$

[modifier] Opérations sur les limites

$\begin{array}{c|c|c|c|c|} \hline \displaystyle{\lim_a f} & l & l\textrm{~ou~}+\infty & l\textrm{~ou~}-\infty & +\infty \\ \hline \displaystyle{\lim_a g} & l' & +\infty & -\infty & -\infty \\ \hline \displaystyle{\lim_a (f+g)} & l+l' & +\infty & -\infty & \color{Red}{\textrm{FI}} \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|} \hline \displaystyle{\lim_a f} & l & l\not =0 & +\infty\textrm{~ou~}-\infty & 0 \\ \hline \displaystyle{\lim_a g} & l' & +\infty\textrm{~ou~}-\infty & +\infty\textrm{~ou~}-\infty & +\infty\textrm{~ou~}-\infty \\ \hline \displaystyle{\lim_a (f\times g)} & l\times l' & \color{Blue}{+\infty\textrm{~ou~}-\infty} & \color{Blue}{+\infty\textrm{~ou~}-\infty} & \color{Red}{\textrm{FI}} \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|} \hline \displaystyle{\lim_a f} & l & l & +\infty\textrm{~ou~}-\infty & 0& +\infty\textrm{~ou~}-\infty & l\not =0 \\ \hline \displaystyle{\lim_a g} & l'\not =0 & +\infty\textrm{~ou~}-\infty & l'\not =0 & 0& +\infty\textrm{~ou~}-\infty & 0 \\ \hline \displaystyle{\lim_a \frac fg} & \displaystyle{\frac l{l'}} & 0 & \color{Blue}{+\infty\textrm{~ou~}-\infty} & \color{Red}{\textrm{FI}} & \color{Red}{\textrm{FI}} & \color{Blue}{+\infty\textrm{~ou~}-\infty}\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{c|c|c|} \hline \displaystyle{\lim_a f} & l>0 & +\infty \\ \hline \displaystyle{\lim_a \sqrt f} & \sqrt l & +\infty\\ \hline \end{array}$

Pour déterminer le signe des limites en bleu, on se réfèrera à la règle des signes.

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