Limites d'une fonction/Exercice/Limites de fractions rationnelles

Une page de Wikiversité.

**Limites de fractions rationnelles**
Leçon : Limites d'une fonction

Exercice 2
Chapitre du cours :	Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini
Cet exercice est de niveau 12.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Limites de fractions rationnelles
Limites d'une fonction/Exercice/Limites de fractions rationnelles », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Exemple

Soit f la fonction définie sur $\R$ par pour tout x $\in \R,~f(x)=\frac{x^2-3}{5x^2+1}$

On désire déterminer la limite de f quand x tend vers $+\infty$ .

[modifier] Problématique

On a :

$\lim_{x \to +\infty}(x^2-3)=\ldots \textrm{~et~}\lim_{x \to +\infty}(5x^2+1)=\ldots$

donc on a une forme indéterminée $\ldots$ qui peut donner n’importe quel résultat selon les cas.

Définition

Une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) est un quotient de polynômes.

[modifier] Résolution du problème

On a donc ci-dessus un exemple de fraction rationnelle.

Pour x différent de 0 , on a :

$f(x)=\frac{x^2(\ldots)}{x^2(\ldots)}=\frac{\ldots}{\ldots}$

On a les limites suivantes :

$\lim_{x \to +\infty}(\ldots)=\ldots\textrm{~et~}\lim_{x \to +\infty}(\ldots)=\ldots\textrm{~donc~}\lim_{x \to +\infty} \frac{\ldots}{\ldots}=\ldots$

Finalement :

$\lim_{x \to +\infty}f(x)=\ldots$

Solution du raisonnement à trous

Soit x>0.

$f(x)=\frac{\displaystyle{x^2\left(1-\frac3{x^2}\right)}}{\displaystyle{x^2\left(5+\frac1{x^2}\right)}}= \frac{\displaystyle{1-\frac3{x^2}}}{\displaystyle{5+\frac1{x^2}}}$

On a les limites suivantes :

$\lim_{x \to +\infty}\left(1-\frac3{x^2}\right)=1\textrm{~et~}\lim_{x \to +\infty}\left(5+\frac1{x^2}\right)=5\textrm{~donc~}\lim_{x \to +\infty} \frac{\displaystyle{1-\frac3{x^2}}}{\displaystyle{5+\frac1{x^2}}}=\frac15$

Finalement :

$\lim_{x \to +\infty}f(x)=\frac15$

[modifier] Heuristique

$5 x 2$ grandit 5 fois plus vite que $x 2$ , ce qui explique le résultat.

Théorème

Pour lever l’indétermination à l’infini dans le cas d’une fraction rationnelle, on met en facteur au numérateur et au dénominateur les termes dominants.

[modifier] Exercice

Déterminer les limites quand x tend vers $+\infty$ et quand x tend vers $-\infty$ des fractions rationnelles suivantes en précisant la forme indéterminée rencontrée.

1. $f(x)=\frac{-5x^3+2x^2-x+7}{3x^2+1}$

Solution

Si on essaye de calculer la limite naïvement, on trouve :

$\lim_{x\to+\infty}-5x^3+2x^2-x+7=-\infty$
$\lim_{x\to+\infty}3x^2+1=+\infty$

On est en présence d'une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ . On utilise la méthode présentée ci-dessus en factorisant les termes dominants.

$\begin{align} f(x)&=\frac{-5x^3+2x^2-x+7}{3x^2+1}\\ &=\frac{\displaystyle{x^3\left(-5+\frac{2x^2}{x^3}-\frac x{x^3}+\frac7{x^3}\right)}}{\displaystyle{x^2\left(3+\frac1{x^2}\right)}}\\ &=x\times\frac{\displaystyle{-5+\frac2x-\frac1{x^2}+\frac7{x^3}}}{\displaystyle{3+\frac1{x^2}}}\\ \end{align}$

Limite de f en :
- $\lim_{x\to+\infty}\frac2{x}=0$
- $\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^2}=0$
- $\lim_{x\to+\infty}\frac7{x^3}=0$
- $\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^2}=0$
- Donc $\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle{-5+\frac2{x}-\frac1{x^2}+\frac7{x^3}}}{\displaystyle{3+\frac1{x^2}}}=\frac{-5+0-0+0}{3+0}=-\frac53$
- $\lim_{x\to+\infty}-\frac53x=-\infty$

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$

Limite de f en :
- $\lim_{x\to-\infty}\frac2{x}=0$
- $\lim_{x\to-\infty}\frac1{x^2}=0$
- $\lim_{x\to-\infty}\frac7{x^3}=0$
- $\lim_{x\to-\infty}\frac1{x^2}=0$
- Donc $\lim_{x\to-\infty}\frac{\displaystyle{-5+\frac2{x}-\frac1{x^2}+\frac7{x^3}}}{\displaystyle{3+\frac1{x^2}}}=\frac{-5+0-0+0}{3+0}=-\frac53$
- $\lim_{x\to-\infty}-\frac53x=+\infty$

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$

2. $f(x)=\frac{x^4+2}{x^3+x}$

Solution

Si on essaye de calculer la limite naïvement, on trouve :

$\lim_{x\to+\infty}x^4+2=+\infty$
$\lim_{x\to+\infty}x^3+x=+\infty$

On est en présence d'une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ . On utilise la méthode présentée ci-dessus en factorisant les termes dominants.

$\begin{align} f(x)&=\frac{x^4+2}{x^3+x}\\ &=\frac{\displaystyle{x^4\left(1+\frac2{x^4}\right)}}{\displaystyle{x^3\left(1+\frac x{x^3}\right)}}\\ &=x\times\frac{\displaystyle{1+\frac2{x^4}}}{\displaystyle{1+\frac 1{x^2}}}\\ \end{align}$

Limite de f en :
- $\lim_{x\to+\infty}\frac2{x^4}=0$
- $\lim_{x\to+\infty}\frac 1{x^2}=0$
- Donc $\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle{1+\frac2{x^4}}}{\displaystyle{1+\frac 1{x^2}}}=\frac{1+0}{1+0}=1$
- $\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$

Limite de f en :
- $\lim_{x\to-\infty}\frac2{x^4}=0$
- $\lim_{x\to-\infty}\frac 1{x^2}=0$
- Donc $\lim_{x\to-\infty}\frac{\displaystyle{1+\frac2{x^4}}}{\displaystyle{1+\frac 1{x^2}}}=\frac{1+0}{1+0}=1$
- $\lim_{x\to-\infty}x=-\infty$

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$

3. $f(x)=\frac{-\frac13x^2+5x-4}{x^5+1}$

Solution

Si on essaye de calculer la limite naïvement, on trouve :

$\lim_{x\to+\infty}-\frac13x^2+5x-4=-\infty$
$\lim_{x\to+\infty}x^5+1=+\infty$

On est en présence d'une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ . On utilise la méthode présentée ci-dessus en factorisant les termes dominants.

$\begin{align} f(x)&=\frac{-\frac13x^2+5x-4}{x^5+1}\\ &=\frac{\displaystyle{x^2\left(-\frac13+\frac{5x}{x^2}-\frac4{x^2}\right)}}{\displaystyle{x^5\left(1+\frac1{x^5}\right)}}\\ &=\frac1{x^3}\times\frac{\displaystyle{-\frac13+\frac5x-\frac4{x^2}}}{\displaystyle{1+\frac1{x^5}}}\\ \end{align}$

Limite de f en :
- $\lim_{x\to+\infty}\frac5{x}=0$
- $\lim_{x\to+\infty}\frac4{x^2}=0$
- $\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^5}=0$
- Donc $\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle{-\frac13+\frac5x-\frac4{x^2}}}{\displaystyle{1+\frac1{x^5}}}=\frac{-\frac13+0-0}{1+0}=-\frac13$
- $\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^3}=0$

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$

Limite de f en :
- $\lim_{x\to-\infty}\frac5{x}=0$
- $\lim_{x\to-\infty}\frac4{x^2}=0$
- $\lim_{x\to-\infty}\frac1{x^5}=0$
- Donc $\lim_{x\to-\infty}\frac{\displaystyle{-\frac13+\frac5x-\frac4{x^2}}}{\displaystyle{1+\frac1{x^5}}}=\frac{-\frac13+0-0}{1+0}=-\frac13$
- $\lim_{x\to-\infty}\frac1{x^3}=0$

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$

4. $f(x)=\frac{5x^2}{x^2+1}$

Solution

Si on essaye de calculer la limite naïvement, on trouve :

$\lim_{x\to+\infty}5x^2=+\infty$
$\lim_{x\to+\infty}x^2+1=+\infty$

On est en présence d'une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ . On utilise la méthode présentée ci-dessus en factorisant les termes dominants.

$\begin{align} f(x)&=\frac{5x^2}{x^2+1}\\ &=\frac{5x^2}{\displaystyle{x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)}}\\ &=\frac5{\displaystyle{1+\frac1{x^2}}}\\ \end{align}$