Limites d'une fonction/Définitions quantifiées de la notion de limite

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**Définitions quantifiées de la notion de limite**
Leçon : Limites d'une fonction

Chapitre 10
Chap. préc. :	Exemple corrigé
Chap. suiv. :	Courbes asymptotes

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Limites d'une fonction : Définitions quantifiées de la notion de limite
Limites d'une fonction/Définitions quantifiées de la notion de limite », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Remarque : Pour une compréhension intuitive de la notion de limite, voyez les premiers chapitres du cours Limites d'une fonction.

Soit $f\,$ une fonction définie sur un domaine $\mathcal D$ à valeurs dans $\R$ .

[modifier] Définitions formalisées

[modifier] Limite finie en un point

Définition

$f\,$ a pour limite $l\,$ en $a \in \R\,$ si, et seulement si :

$\forall \varepsilon > 0,\exists\delta_{\varepsilon} >0,\forall x\in]a-\delta_{\varepsilon},a+\delta_{\varepsilon}[\cap\mathcal D,~|f(x)-l|\leq\varepsilon$

En français, on pourrait dire que $f\,$ a pour limite $l\,$ en $a\,$ si, et seulement si, pour un intervalle $I\,$ choisi autour de $l\,$ aussi petit que l'on veut, il existe un intervalle de valeurs de $x\,$ autour de $a\,$ pour lequel tous les $f(x)\,$ appartiennent à $I\,$ .

On note alors $\lim_{x\to a}f(x)=l$ ou, de manière plus condensée, $\lim_af=l$

[modifier] Limite infinie en un point

Définition

$f\,$ a pour limite $+\infty\,$ en $a \in \R\,$ si, et seulement si :

$\forall M > 0,\exists\delta_{M} >0,\forall x\in]a-\delta_{M},a+\delta_{M}[\cap\mathcal D,~f(x)\geq M$

$f\,$ a pour limite $-\infty\,$ en $a \in \R\,$ si, et seulement si :

$\forall M < 0,\exists\delta_{M} >0,\forall x\in]a-\delta_{M},a+\delta_{M}[\cap\mathcal D,~f(x)\leq M$

En français, cela revient à dire que, aussi grand (ou petit) qu'on prenne un réel $M\,$ , en se rapprochant suffisamment de $a\,$ , on finit par dépasser la valeur de $M\,$ . $f\,$ prend ainsi des valeurs infiniment grandes (ou petites) au voisinage de $a\,$ .

On note :

$\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ ou $\lim_{a}f=+\infty$ si $f\,$ a pour limite $+\infty\,$ en $a\,$
$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$ ou $\lim_{a}f=-\infty$ si $f\,$ a pour limite $-\infty\,$ en $a\,$

[modifier] Limite finie en l'infini

Définition

$f\,$ a pour limite $l\,$ en $+\infty\,$ si, et seulement si :

$\forall\varepsilon>0,\exists A>0,\forall x \in \mathcal D, x >A \Longrightarrow |f(x)-l|\leq\varepsilon$

En français, tout intervalle ouvert contenant $l\,$ contient aussi toutes les valeurs $f(x)\,$ pour $x\,$ assez grand.

On note $\lim_{x\to+\infty}f(x)=l$ ou $\lim_{+\infty}f=l$

Définition

$f\,$ a pour limite $l\,$ en $-\infty\,$ si, et seulement si :

$\forall\varepsilon<0,\exists A<0,\forall x \in \mathcal D, x <A \Longrightarrow |f(x)-l|\leq\varepsilon$

En français, tout intervalle ouvert contenant $l\,$ contient aussi toutes les valeurs de $f(x)\,$ pour $x\,$ assez petit.

On note $\lim_{x\to-\infty}f(x)=l$ ou $\lim_{-\infty}f=l$

[modifier] Limite infinie en l'infini

Définition

$f\,$ a pour limite $+\infty\,$ en $-\infty\,$ si, et seulement si :

$\forall M>0,\exists A<0,\forall x \in \mathcal D, x <A \Longrightarrow f(x)\geq M$

$f\,$ a pour limite $+\infty\,$ en $+\infty\,$ si, et seulement si :

$\forall M>0,\exists A>0,\forall x \in \mathcal D, x >A \Longrightarrow f(x)\geq M$

En français, cela revient à dire que tout intervalle $]M ; +\infty[$ avec $M > 0$ contient toutes les valeurs de $f(x)\,$ :

pour $x\,$ suffisamment grand si $f\,$ a pour limite $+\infty\,$ en $+\infty\,$ . On note alors $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ ou $\lim_{+\infty}f=+\infty$
pour $x\,$ suffisamment petit si $f\,$ a pour limite $+\infty\,$ en $-\infty\,$ . On note alors $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ ou $\lim_{-\infty}f=+\infty$

Définition

$f\,$ a pour limite $-\infty\,$ en $-\infty\,$ si, et seulement si :

$\forall M<0,\exists A<0,\forall x \in \mathcal D, x <A \Longrightarrow f(x)\leq M$

$f\,$ a pour limite $-\infty\,$ en $+\infty\,$ si, et seulement si :

$\forall M<0,\exists A>0,\forall x \in \mathcal D, x >A \Longrightarrow f(x)\leq M$

En français, cela revient à dire que tout intervalle $]-\infty;M[$ avec $M < 0$ contient toutes les valeurs de $f(x)\,$

pour $x\,$ suffisamment grand si $f\,$ a pour limite $-\infty\,$ en $+\infty\,$ . On note alors $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ ou $\lim_{+\infty}f=-\infty$
pour $x\,$ suffisamment petit si $f\,$ a pour limite $-\infty\,$ en $-\infty\,$ . On note alors $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ ou $\lim_{-\infty}f=-\infty$

[modifier] Limite « unilatérale » en un point

Définition

$f\,$ a pour limite à gauche $l\,$ en $a \in \R\,$ si, et seulement si :

$\forall \varepsilon > 0,\exists\delta_{\varepsilon} >0,\forall x\in]a-\delta_{\varepsilon};a]\cap\mathcal D,~|f(x)-l|\leq\varepsilon$

On procède de même pour définir la limite à droite en remplaçant $]a-\delta_{\varepsilon};a]\,$ par $[a;a+\delta_{\varepsilon}[\,$ .

On note

$\lim_{\underset{x\leq x_1}{x\to x_1}}f(x)=y_1$ ou $\lim_{x\to x_1^-}f(x)=y_1$ pour la première définition
$\lim_{\underset{x\geq x_1}{x\to x_1}}f(x)=y_2$ ou $\lim_{x\to x_1^+}f(x)=y_2$ pour la deuxième définition

[modifier] Limite « épointée » en un point

Définition

$f\,$ a pour limite épointée $l\,$ en $a\,$ si, et seulement si :

$\forall \epsilon >0 ,\exists\delta_{\varepsilon} >0,\forall x\in(]a-\delta_{\varepsilon};a,a[\cup]a,a+\delta_{\varepsilon}[)\cap\mathcal D,~|f(x)-l|\leq\varepsilon$

On note $\lim_{\underset{x\not=a}{x\to a}}f(x)=l$

[modifier] Limite « unilatérale épointée » en un point

Définition

$f\,$ a pour limite épointée à gauche y₁ en x₁ ssi $\forall \epsilon\in\R^{+*},\exists\eta\in\R^{+*},\forall x\in]x_1-\eta,x_1[\cap\mathcal D,~|f(x)-y_1|\leq\epsilon$
$f\,$ a pour limite épointée à droite y₂ en x₁ ssi $\forall \epsilon\in\R^{+*},\exists\eta\in\R^{+*},\forall x\in]x_1,x_1+\eta[\cap\mathcal D,~|f(x)-y_2|\leq\epsilon$

On note

$\lim_{\underset{x<x_1}{x\to x_1}}f(x)=y_1$ pour la première définition
$\lim_{\underset{x>x_1}{x\to x_1}}f(x)=y_2$ pour la deuxième définition

Définition

$f\,$ a pour limite à droite -∞ en x₁ ssi $\forall M\in\R^-,\exists\eta\in\R^{+*},\forall x\in]x_1,x_1+\eta[\cap\mathcal D,~f(x)\leq M$
$f\,$ a pour limite à gauche +∞ en x₁ ssi $\forall M\in\R^+,\exists\eta\in\R^{+*},\forall x\in]x_1-\eta,x_1[\cap\mathcal D,~f(x)\geq M$

On note

$\lim_{\underset{x<x_1}{x\to x_1}}f(x)=+\infty$ ou $\lim_{x\to x_1^-}f(x)=+\infty$ pour la première définition
$\lim_{\underset{x>x_1}{x\to x_1}}f(x)=-\infty$ ou $\lim_{x\to x_1^+}f(x)=-\infty$ pour la deuxième définition

Définition

$f\,$ a pour limite à droite +∞ en x₁ ssi $\forall M\in\R^+,\exists\eta\in\R^{+*},\forall x\in]x_1,x_1+\eta[\cap\mathcal D,~f(x)\geq M$
$f\,$ a pour limite à gauche -∞ en x₁ ssi $\forall M\in\R^-,\exists\eta\in\R^{+*},\forall x\in]x_1-\eta,x_1[\cap\mathcal D,~f(x)\leq M$

On note

$\lim_{\underset{x<x_1}{x\to x_1}}f(x)=-\infty$ ou $\lim_{x\to x_1^-}f(x)=-\infty$ pour la première définition
$\lim_{\underset{x>x_1}{x\to x_1}}f(x)=+\infty$ ou $\lim_{x\to x_1^+}f(x)=+\infty$ pour la deuxième définition

[modifier] Théorèmes sur les limites

[modifier] Premières propriétés

Propriété : Unicité de la limite

Si $\lim_{x \to a}f(x) = l \in \R\,$ , alors cette limite est unique.

Démonstration

Supposons que $\lim_{x \to a}f(x) = l \in \R\,$ mais aussi que $\lim_{x \to a}f(x) = l' \in \R\,$ avec $l' \ne l\,$ . Alors par définition :

$\lim_{x \to a} f(x) = l \in \R \iff \forall \varepsilon > 0, \exist \delta_{\varepsilon} >0 | \forall x \in I , |x-a| < \delta_{\varepsilon} \Longrightarrow |f(x)-l| < \varepsilon \,$
$\lim_{x \to a} f(x) = l' \in \R \iff \forall \varepsilon > 0, \exist \delta^{'}_{\varepsilon} >0 | \forall x \in I , |x-a| < \delta^{'}_{\varepsilon} \Longrightarrow |f(x)-l'| < \varepsilon \,$

On choisit $\varepsilon < \frac{|l'-l|}{2}\,$ (l'idée est de prendre $\varepsilon\,$ "suffisamment petit" pour que les intervalles $]l-\varepsilon ; l + \varepsilon[\,$ et $]l'-\varepsilon ; l' + \varepsilon[\,$ ne se croisent pas).
Soit encore $\min(\delta_{\varepsilon},\delta^{'}_{\varepsilon}) =\delta^{''}_{\varepsilon}\,$ .
Alors : $\forall x \in ]a-\delta^{''}_{\varepsilon};a+\delta^{''}_{\varepsilon}[ , f(x) \in ]l-\varepsilon ; l + \varepsilon[\cap ]l'-\varepsilon ; l' + \varepsilon[\,$ ce qui est absurde, car $l + \varepsilon < l + \frac{|l'-l|}{2} < l' - \varepsilon \,$ . On en déduit l'unicité de la limite.

On va maintenant voir comment caractériser une limite de fonction à partir de limite de suite. On ne donne ici la propriété que pour une limite finie en un point, mais elle est transposable aux autres cas :

Propriété : Caractérisation séquentielle d'une limite

Soient $f\,$ une fonction définie sur un intervalle $I\,$ , $a \in I\,$ et $l \in \R\,$ .
$f\,$ a pour limite $l\,$ en $a\,$ , si et seulement si :

Pour toute suite $(x_n)\,$ qui converge vers $a\,$ , la suite $f(x_n)\,$ converge vers $l\,$ .

Démonstration

Écrivons les définitions des limites :

$\lim_{x \to a} f(x) = l \in \R \iff \forall \varepsilon > 0, \exist \delta_{\varepsilon} >0 | \forall x \in I , |x-a| < \delta_{\varepsilon} \Longrightarrow |f(x)-l| < \varepsilon \,$
$\forall\delta>0 \ \exists N_{\delta} \in \mathbb N\,|\, n>N_{\delta} \Longrightarrow |x_n-a|< \delta\,$ .

Soit $\varepsilon >0\,$ .
Alors en choisissant $\delta = \delta_{\varepsilon}\,$ dans la deuxième définition, on a :
$\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\delta_{\varepsilon}}\in \mathbb N\,|\, n>N_{\delta_{\varepsilon}} \Longrightarrow |x_n-a|< \delta_{\varepsilon} \Longrightarrow |f(x_n)-l| < \varepsilon \,$ (la dernière implication vient de la définition de " $f(x)\,$ tend vers $l\,$ ".On en déduit le résultat voulu.

[modifier] Limites et opérations

Propriété

Soient $f\,$ et $g\,$ deux fonctions définies sur un intervalle $I\,$ à valeurs dans $\R\,$ , et $a \in I\,$ .
Si $\lim_{x \to a} f(x) = l \in \R \,$ et $\lim_{x \to a}g(x) = l' \in \R\,$ , alors :

$\lim_{x \to a} (f+g)(x) = l + l'\,$ ;
$\lim_{x \to a} (fg)(x) = ll'\,$ ;
si $g(x)\ne 0 \forall x \in I\,$ et $l' \ne 0\,$ , alors $\lim_{x \to a} \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{l}{l'}\,$ et en particulier $\lim_{x \to a} \left(\frac{1}{g}\right)(x) = \frac{1}{l'}\,$ .

Démonstration

Écrivons les définitions des limites :

$\lim_{x \to a} f(x) = l \in \R \iff \forall \varepsilon > 0, \exist \delta_{\varepsilon} >0 | \forall x \in I , |x-a| < \delta_{\varepsilon} \Longrightarrow |f(x)-l| < \varepsilon \,$
$\lim_{x \to a} g(x) = l' \in \R \iff \forall \varepsilon > 0, \exist \delta^{'}_{\varepsilon} >0 | \forall x \in I , |x-a| < \delta^{'}_{\varepsilon} \Longrightarrow |g(x)-l'| < \varepsilon \,$

Soit donc $\varepsilon > 0\,$ . Alors on a :

Pour la somme :

$|(f+g)(x) - (l+l')| = |f(x) + g(x) - l - l'| = |(f(x)-l)+(g(x)-l')| \le |f(x)-l| + |g(x)-l'|\,$ , d'après l'inégalité triangulaire. On remarque alors que, si $|x-a|<\min(\delta_{\varepsilon},\delta^{'}_{\varepsilon}) =\delta^{''}_{\varepsilon}\,$ , alors $|(f+g)(x) - (l+l')| \le |f(x)-l| + |g(x)-l'| < \varepsilon\,$ . Donc, par définition, on a bien : $\lim_{x \to a} (f+g)(x) = l + l'\,$ .

Pour le produit : On a besoin d'une astuce calculatoire :

$|(fg)(x) - ll'| = |f(x)g(x) - ll'| = |f(x)g(x) - lg(x)+ lg(x) - ll'| = |g(x)\left(f(x)-l\right) + l\left(g(x)-l'\right)|\,$ .
Donc, d'après l'inégalité triangulaire :
$|(fg)(x) - ll'| \le |g(x)||f(x)-l|+|l'||g(x)-l'|\, (1)$ .
Maintenant, comme $l \in \R\,$ , on a donc :
$\forall x \in ]a-\delta^{'}_{\varepsilon};a+\delta^{'}_{\varepsilon}[ , |g(x)-l'|<\varepsilon \Longrightarrow g(x) \in ]l'-\varepsilon ; l' + \varepsilon[ \Longrightarrow |g(x)|<max(|l'-\varepsilon|,|l'+\varepsilon|)=M\,$ donc $g\,$ est bornée sur $]a-\delta^{'}_{\varepsilon};a+\delta^{'}_{\varepsilon}[\,$ par $M>0\,$ .
Donc, d'après $(1)\,$ et les définitions, si $|x-a|<\min(\delta_{\varepsilon},\delta^{'}_{\varepsilon}) =\delta^{''}_{\varepsilon}\,$ , alors $|(fg)(x) -ll'| \le \varepsilon(l'+M)\,$ .
En remplaçant $\varepsilon\,$ par $\frac{\varepsilon}{l'+M}\,$ , on obtient le résultat voulu.

Pour l'inverse :

$\left|\frac{1}{g}(x) - \frac{1}{l'}\right| = \left|\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{l'}\right| = |\frac{l'-g(x)}{l'g(x)}| = \frac{|g(x)-l'|}{|l'g(x)|}\,$ .
On démontre (comme on l'a fait plus haut pour le produit) que $g\,$ est minorée par un réel $m\,$ sur l'intervalle $]a-\delta^{'}_{\varepsilon};a+\delta^{'}_{\varepsilon}[\,$ donc :
$\left|\frac{1}{g}(x) - \frac{1}{l'}\right| = \frac{|g(x)-l'|}{|l'g(x)|} \le \frac{|g(x)-l'|}{|l'm|}$ Donc, $\forall x \in ]a-\delta^{'}_{\varepsilon};a+\delta^{'}_{\varepsilon}[ ,\left|\frac{1}{g}(x) - \frac{1}{l'}\right| \le \frac{\varepsilon}{l'm} \,$ .
En remplaçant $\varepsilon\,$ par $\varepsilon(l'+m)\,$ , on obtient le résultat voulu.

Ces propriétés sont aussi valables pour les limites à droite et à gauche, pour le cas p = ±∞, et aussi pour les limites infinies en utilisant les règles suivantes :

q + ∞ = ∞ pour q ≠ -∞
q × ∞ = ∞ si q > 0
q × ∞ = -∞ si q < 0
q / ∞ = 0 si q ≠ ± ∞.

Remarquons qu'il n'y a pas de règle générale pour le cas q / 0 : cela dépend de la façon dont on s'approche de 0. Certains cas, comme par exemple 0/0, 0×∞ ∞-∞ ou ∞/∞, ne sont pas non plus couverts par ces règles.

[modifier] Formes indéterminées

Il existe certaines formes de limite où il est n'est pas possible de conclure directement en utilisant des opérations sur les limites, ce sont les formes indéterminées (FI) :

Indétermination de la forme 0/0 quand le résultat obtenu donne 0/0
Indétermination de la forme ∞/∞ quand le résultat obtenu donne ∞/∞
Indétermination de la forme ∞ - ∞ quand le résultat obtenu donne ∞ - ∞
Indétermination de la forme 0 × ∞ qui se ramène aux deux premiers cas en remarquant qu'une multiplication par 0 équivaut à une division par l'infini, ou qu'une multiplication par l'infini équivaut à une division par 0.

Règles opératoires pour lever l'indétermination :
Voici quelques régles opératoires pour lever les FI :

Fonctions polynomiales et rationnelles :

On a la règle "des monômes de plus haut degré" qui n'est valable qu'en l'infini:

Règle

La limite en l'infini d'une fonction polynomiale est égale à celle de son monôme (ou terme) de plus haut degré.
La limite en l'infini d'une fonction rationnelle est égale à celle du quotient de ses monômes de plus hauts degrés.

(démonstration à faire) Exemples :
1/ Soit $f : x \mapsto x^2-2x^3+x-5\,$ .Le monôme de plus haut degré est $-2x^3\,$ .
Alors $\lim_{x \to +\infty}f(x) = \lim_{x \to +\infty}-2x^3 = -\infty\,$
et de même : $\lim_{x \to -\infty}f(x) = \lim_{x \to -\infty}-2x^3 = +\infty\,$ .

2/ Soit $g : x \mapsto \frac{x^2-2x^3+x-5}{x^3-x+7}\,$ .Les monômes de plus hauts degrés sont $-2x^3\,$ et $x^3\,$ .
Alors $\lim_{x \to \pm\infty}g(x) = \lim_{x \to \pm\infty}\frac{-2x^3}{x^3} = -2\,$ .

Factorisation par le terme "le plus fort en l'infini" :
(à faire)

Régle de L'Hospital :

Du nom du Marquis de L'Hospital, mathématicien français du XVIIème siècle, cette règle permet de simplifier les FI 0/0 ou ∞/∞ : voir Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité).

[modifier] Limite d'une fonction composée

Propriété

Soient $f\,$ et $g\,$ deux fonctions définies sur un intervalle $I\,$ à valeurs dans $\R\,$ , et $a \in I\,$ .
Si $\lim_{x \to a} f(x) = b \in \R \,$ et $\lim_{x \to b}g(x) = c \in \R\,$ , alors $\lim_{x \to a} (f\circ g)(x) = c\,$ .

Démonstration

Écrivons les définitions :

$\lim_{x \to a} f(x) = b \in \R \iff \forall \varepsilon > 0, \exist \delta_{\varepsilon} >0 | \forall x \in I , |x-a| < \delta_{\varepsilon} \Longrightarrow |f(x)-b| < \varepsilon \,$
$\lim_{x \to b} g(x) = c \in \R \iff \forall \eta > 0, \exist \varepsilon_{\eta} >0 | \forall x \in I , |x-b| < \varepsilon_{\eta} \Longrightarrow |g(x)-c| < \eta \,$

Soit donc $\varepsilon > 0\,$ . Alors on a :
$\exist \eta_{\delta_{\varepsilon}} >0 | \forall x \in I , |x-a| < \delta_{\varepsilon} \Longrightarrow |f(x)-b| < \varepsilon \Longrightarrow |g(f(x))-c| < \eta_{\delta_{\varepsilon}}\,$ d'où le résultat par définition.

Exemple :Calculer $\lim_{x\to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\,$ .
On remarque que $\forall x > 0\,$ :
$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e^{x \ln(1+\frac{1}{x})} = e^\left(\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}\right) = (f\circ g)(x)\,$ où $f(x) = e^x\,$ et $g(x) = \frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}\,$ .
Or :

$g(x) = (f_1\circ g_1)(x)\;\mathrm{avec}\; f_1(x) = \frac{\ln(1+x)}{x} \;\mathrm{et}\; g_1(x) = \frac{1}{x}\,$ ;
$\lim_{x\to +\infty} g_1(x) = 0\, \;\mathrm{et\;} \lim_{x\to 0} f_1(x) = 1 \Rightarrow \lim_{x\to +\infty} g(x) = 1\,$ (première application de la propriété) ;
$\lim_{x\to 1} f(x) = \mathrm{e}\,$

donc en appliquant une deuxième fois la propriété :

$\lim_{x\to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = \mathrm{e}\,$

.

[modifier] Limites et relation d'ordre

Les trois énoncés qui suivent sont valables mutatis mutandis pour $a = \pm \infty\,$ .

La propriété qui suit permet de "passer à la limite" dans une inégalité.

Propriété

Soient $f\,$ et $g\,$ deux fonctions définies "au voisinage de $a \in \mathbb{R}\,$ ".
Si $\lim_{x\to a}f(x) = l \in \R\,$ et $\lim_{x\to a}g(x) = l' \in \R\,$ , alors :

$l \le l' \iff \exist \eta > 0 | \forall x \in ]a-\eta ; a+\eta[ , f(x) \le g(x)\,$

Attention ! Cette propriété n'est plus vraie si on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes.
Contre-exemple : Il suffit de remarquer que $f : x \mapsto \frac{1}{x}\,$ est à valeurs strictement positives sur $]0;+\infty[\,$ , mais que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \not > 0\,$ .

Démonstration

Écrivons les définitions des limites :

$\lim_{x \to a} f(x) = l \in \R \iff \forall \varepsilon > 0, \exist \delta_{\varepsilon} >0 | \forall x \in I , |x-a| < \delta_{\varepsilon} \Longrightarrow |f(x)-l| < \varepsilon \,$
$\lim_{x \to a} g(x) = l' \in \R \iff \forall \varepsilon > 0, \exist \delta^{'}_{\varepsilon} >0 | \forall x \in I , |x-a| < \delta^{'}_{\varepsilon} \Longrightarrow |g(x)-l'| < \varepsilon \,$

$(\Longrightarrow)\,$ Supposons que $l \le l'\,$ .
Alors, en choisissant $\varepsilon \le \frac{l'-l}{2}\,$ , on obtient que :
$\forall x |\, |x-a|<\min(\delta_{\varepsilon},\delta^{'}_{\varepsilon}), \,f(x) < l-\varepsilon \le l+\frac{l'-l}{2} = \frac{l'+l}{2} = l'-\frac{l'-l}{2} \le l'-\varepsilon <g(x) \,$
On en déduit le résultat voulu en choisissant $\eta = \min(\delta_{\varepsilon},\delta^{'}_{\varepsilon})\,$ .
$(\Longleftarrow)$ On raisonne par contraposée : supposons que $l > l'\,$ . Alors d'après ce qu'on vient de démontrer, $\exist \eta > 0 | \forall x \in ]a-\eta ; a+\eta[ , f(x) \ge g(x)\,$ , d'où le résultat.

On a les deux Théorèmes suivants, qui sont très utiles dans la pratique :

Théorème des Gendarmes

Soient f $\,$ , $g\,$ et $h\,$ trois fonctions définies "au voisinage de $a \in \mathbb{R}\,$ ".
Si :

$\exist \eta > 0 | \forall x \in ]a-\eta ; a+\eta[ , g(x) \le f(x) \le h(x)\,$ ;
$\lim_{x\to a}g(x) = \lim_{x\to a}h(x) = l \in \R\,$

alors

$\lim_{x\to a}f(x) = l \in \R\,$

Illustration du Théorème des gendarmes

Remarquez que dans l'illustration, les rôles de $f\,$ et $g\,$ ont été inversés. Le nom du Théorème des Gendarmes vient de l'analogie suivante : les fonctions $g\,$ et $h\,$ jouent le rôle de 2 gendarmes qui encadrent le bandit (la fonction $f\,$ ) et qui l'obligent à aller en prison (la limite $l\,$ ).

Exemple : Soit $f : x \mapsto \frac{\sin x}{x}\,$ .
Comme $\forall x\in \R^{*}, -1\le \sin x \le 1 \Longrightarrow -\frac{1}{x} \le f(x) \le \frac{1}{x} \,$ et comme $\lim_{x \to +\infty}-\frac{1}{x} = \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x} = 0\,$ , on en déduit que :

$\lim_{x\to +\infty}f(x) = 0\,$

.

Démonstration

On sait que :

$\lim_{x \to a} f(x) = l \in \R \iff \forall \varepsilon > 0, \exist \delta_{\varepsilon} >0 | \forall x \in I , |x-a| < \delta_{\varepsilon} \Longrightarrow |f(x)-l| < \varepsilon \,$
$\lim_{x \to a} g(x) = l \in \R \iff \forall \varepsilon > 0, \exist \delta^{'}_{\varepsilon} >0 | \forall x \in I , |x-a| < \delta^{'}_{\varepsilon} \Longrightarrow |g(x)-l| < \varepsilon \,$
$\exist \eta > 0 | \forall x \in ]a-\eta ; a+\eta[ , g(x) \le f(x) \le h(x)\,$ .

Soit $\delta^{''}_{\varepsilon} = \min(\delta_{\varepsilon},\delta^{'}_{\varepsilon},\eta)\,$ .Alors il est clair que $\forall x | \, |x-a| < \delta^{''}_{\varepsilon}, f(x) \in [g(x),h(x)]\subset]l-\varepsilon;l+\varepsilon[\,$ , ce qui assure, par définition que $\lim_{x\to a}f(x) = l \in \R\,$ .

Théorème de comparaison

Soient $f\,$ et $g\,$ deux fonctions définies "au voisinage de $a \in \mathbb{R}\,$ ".On suppose de plus que : $\exist \eta > 0 | \forall x \in ]a-\eta; a+\eta[ , f(x) \ge g(x)\,$

Si $\lim_{x\to a}f(x) = +\infty \,$ alors : $\lim_{x\to a}g(x) = +\infty \,$ .
Si $\lim_{x\to a}g(x) = -\infty \,$ alors : $\lim_{x\to a}f(x) = -\infty \,$ .

Exemple : Soit $f : x \mapsto \frac{x}{2-\cos x}\,$ .
Comme $\forall x\in \R, -1\le -\cos x \le 1 \Longrightarrow 1\le 2-\cos x \le 3 \Longrightarrow \frac{1}{3} \le \frac{1}{2-\cos x} \le 1 \Longrightarrow \frac {x}{3} \le f(x) \le x\,$ et comme $\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{3} = +\infty\,$ , on en déduit que :

$\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty\,$

.

Démonstration

On ne démontre que la première assertion du Théorème.
On sait que :

$\lim_{x\to a}f(x) = +\infty \iff \forall M > 0,\exists\delta_{M} >0,\forall x\in]a-\delta_{M},a+\delta_{M}[\cap\mathcal D,~f(x)\geq M\,$
$\exist \eta > 0 | \forall x \in ]a-\eta; a+\eta[ , f(x) \ge g(x)\,$
.

Donc, en choisissant $\delta^{'}_{M} = \min(\delta_{M},\eta)\,$ , on obtient :
$\forall x \in ]a-\delta^{'}_{M},a+\delta^{'}_{M}[\cap\mathcal D,~g(x)\geq f(x)\geq M\,$ , ce qui est bien le résultat voulu.

[modifier] Théorème de la limite monotone

On utilise la convention suivante :

si $E\,$ est une partie non majorée de $\R\,$ , alors $\sup E = +\infty \,$
si $E\,$ est une partie non minorée de $\R\,$ , alors $\inf E = -\infty \,$ .

Théorème de la limite monotone

Soit $f\,$ une fonction définie sur un intervalle $]a,b[\,$ ( $a,b\in\R\,$ ).

Si est croissante , alors :
- $\lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x) = \inf_{x\in]a,b[} f(x)\,$
- $\lim_{\underset{x<b}{x\to b}}f(x) = \sup_{x\in]a,b[} f(x)\,$ .
Si est décroissante , alors :
- $\lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x) = \sup_{x\in]a,b[} f(x)\,$
- $\lim_{\underset{x<b}{x\to b}}f(x) = \inf_{x\in]a,b[} f(x)\,$ .

Démonstration

On se contente de démontrer la première assertion émise pour $f\,$ croissante (les autres se démontrent de façon analogue).
Soit $l = \inf_{x\in]a,b[} f(x)\,$ .
Par définition de la borne inférieure, on a :

$\forall x \in ]a;b[, f(x) \ge l\,$
$\forall \varepsilon > 0 ,\exist x_{\varepsilon} \in ]a;b[ |f(x_{\varepsilon})<l+\varepsilon\,$ .

Donc, puisque $f\,$ est croissante, en choisissant $\delta_{\varepsilon} = x_{\varepsilon} - a\,$ , on a bien :
$\forall \varepsilon > 0 ,\exist \delta_{\varepsilon}>0|\forall x \in ]a;b[\cap[a;a+\delta_{\varepsilon}[ , x\le x_{\varepsilon} \Longrightarrow f(x)\le f(x_{\varepsilon})<l+\varepsilon\,$ , ce qui démontre le résultat voulu.

Limites d'une fonction

Exemple corrigé

Courbes asymptotes

Limites d'une fonction/Définitions quantifiées de la notion de limite

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Sommaire

[modifier] Définitions formalisées

[modifier] Limite finie en un point

[modifier] Limite infinie en un point

[modifier] Limite finie en l'infini

[modifier] Limite infinie en l'infini

[modifier] Limite « unilatérale » en un point

[modifier] Limite « épointée » en un point

[modifier] Limite « unilatérale épointée » en un point

[modifier] Théorèmes sur les limites

[modifier] Premières propriétés

[modifier] Limites et opérations

[modifier] Formes indéterminées

[modifier] Limite d'une fonction composée

[modifier] Limites et relation d'ordre

[modifier] Théorème de la limite monotone

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