Limites d'une fonction/Courbes asymptotes

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**Courbes asymptotes**
Leçon : Limites d'une fonction

Chapitre 11
Chap. préc. :	Définitions quantifiées de la notion de limite

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Limites d'une fonction/Courbes asymptotes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Courbe asymptote

Définition

Soient ƒ et g deux fonctions de courbes représentatives respectives $\mathcal C$ et $\mathcal A$ dans un repère donné.

$\mathcal A$ est une courbe asymptote à $\mathcal C$ en +∞ si :

$\lim_{x\to+\infty} f(x)-g(x)=0$
L'expression de g est beaucoup plus « simple » que celle de ƒ.

En pratique, on recherche des asymptotes polynomiales : droites et paraboles, parfois cubiques. Le but d'une asymptote est de pouvoir donner rapidement et le plus simplement possible une allure du graphe d'une fonction « compliquée ».

[modifier] Trouver la courbe asymptote d'une fraction rationnelle en +∞

Trouver la courbe asymptote d'une fraction rationnelle en +∞

Si la fonction dont on cherche une asymptote est une fraction rationnelle, alors la division euclidienne du numérateur par le dénominateur donnera l'équation de l'asymptote.

Exemple

Soit $f:x\mapsto\frac{5x^5+15x^3+68x^2+29x-19}{5(x^2-2x+7)}$

La division euclidienne du polynôme $5X^5+15X^3+68X^2+29X-19\,$ par le polynôme $5(X^2-2X+7)\,$ donne un quotient de $X^3+2X^2-\frac25$ et un reste de $5(5X-1)\,$

On a donc pour tout $x,~f(x)=\frac{5\left(x^3+2x^2-\frac25\right)(x^2-2x+7)+5(5x-1)}{5(x^2-2x+7)}=x^3+2x^2-\frac25+\frac{5x-1}{x^2-2x+7}$

[modifier] Tenter de trouver une courbe asymptote à une courbe quelconque

Trouver une courbe asymptote

Pour essayer de trouver une courbe asymptote, on peut faire des « développements limités en l'infini », terme tout à fait impropre mais qui reflète l'idée

Exemple

On montre que la fonction $f:x\mapsto\frac{\ln\left(1+\frac1x\right)}{\sin\left(\frac1{x^3}\right)}$ admet pour asymptote la parabole d'équation $y=x^2-\frac x2+\frac13$