L'incomplétude mathématique/Où sont les axiomes manquants ?

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Les théorèmes fondamentaux de l’énumérabilité et de l’indécidabilité permettent ensemble de montrer que toute théorie mathématique suffisamment riche n’est jamais capable de prouver toutes ses vérités. Il suffit de définir «suffisamment riche» par les conditions suivantes :

1. la théorie T permet de définir tous les ensembles énumérables;
2. à partir de deux ensembles déjà définis E et F, T permet de définir E Moins F ($\scriptstyle E\backslash F$), l’ensemble différence de E et F, c’est-à-dire la partie de E qui ne contient aucun élément de F.

Si $E$ est l’ensemble de toutes les expressions formelles et $F$ un ensemble indécidable alors $\scriptstyle E\backslash F$ n’est pas énumérable. Comme l’ensemble des formules prouvables de T est énumérable, il y a des vérités d’appartenance à l’ensemble non-énumérable $\scriptstyle E\backslash F$ qui ne sont pas prouvables.

On peut voir ce théorème comme une généralisation du premier théorème d’incomplétude de Gödel. Les conditions 1° et 2° sont remplies par l’arithmétique formelle mais la preuve est un peu difficile et ne sera pas présentée ici.

Si on ne peut pas prouver toutes les vérités, c’est qu’il manque des axiomes. Quels sont-ils ?

Jusqu’ici on a seulement prouvé que des théories sont incomplètes mais on n’a pas dit pourquoi. Il semble également assez mystérieux que ces théories résistent toujours aux tentatives de complétude. Quelle que soit la façon dont on les complète avec de nouveaux axiomes elles restent incomplètes. Même si on se donne des axiomes en nombre infini elles restent incomplètes, dès que ces axiomes sont déterminés par des règles explicites et univoques. Qu’est-ce qui manque ? Qu’est-ce qui rend la complétude inaccessible à nos esprits finis ?

Il semble intuitivement assez évident que les incomplétudes de la prouvabilité axiomatique et de l’ontologie sont étroitement liées. La ressemblance entre les façons dont tous tous ces théorèmes d’incomplétude sont prouvés, dont l’ensemble paradoxal BR de Bertrand Russell, le nombre réel GC de Georg Cantor, les nombre entiers AT d’Afred Tarski et KG de Kurt Gödel, et la machine AT d’Alan Turing, sont construits montrent que dans tous les cas il y a une ressemblance, ne serait-ce que formelle mais parfois très explicite, avec le paradoxe du menteur.

Le chapitre 6 prouvera ce qui suit, qui peut être considéré comme presqu’évident.

L’incomplétude mathématique est essentiellement ontologique. Les théories axiomatiques ne permettent jamais de prouver toutes leurs vérités parce que leur ontologie est toujours limitée. Elles n’ont jamais assez d’axiomes d’existence. Elles ne permettent jamais de définir assez d’ensembles, de prédicats ou de concepts pour formaliser toutes les preuves concevables. On ne peut pas donner un nombre fini de règles qui suffise pour établir l’existence de tous les êtres imaginables, c’est-à-dire tous les êtres qui ont le droit d’exister au yeux des mathématiciens. L’imagination déborde tous les cadres.