Introduction aux suites numériques/Théorèmes sur les limites

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**Théorèmes sur les limites**
Leçon : Introduction aux suites numériques

Chapitre 5
Chap. préc. :	Comportement asymptotique
Chap. suiv. :	Suites adjacentes

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Introduction aux suites numériques/Théorèmes sur les limites », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Voir les exercices sur : Limites de suites.

Sommaire

1 Théorème des suites convergentes
2 Second théorème
3 Théorème des gendarmes
4 Opérations sur les limites
5 Théorème de comparaison avec une suite géométrique
6 Limites de suites extraites (ou sous-suites)

[modifier] Théorème des suites convergentes

Théorème

Toute suite convergente est bornée. (Démonstration)

[modifier] Second théorème

Théorème

Si $\lim u_n=0\,$ et $(v_n)\,$ bornée, alors $\lim \left(u_n\,v_n\right)=0\,$

Si $\lim u_n=+\infty\,$ et $(v_n)\,$ bornée, alors $\lim \left(u_n+v_n\right)=+\infty\,$

[modifier] Théorème des gendarmes

Théorème

Si pour $n \ge n_0\,$ , $u_n \le v_n \le w_n\,$

et si $\lim u_n = \lim w_n = \ell\,$ ,

alors $\lim v_n = \ell.\,$

[modifier] Opérations sur les limites

[modifier] Addition

Si $\lim u_n =\,$	$\ell_1\,$	$\ell\,$	$+\infty\,$	$+\infty\,$
et $\lim v_n =\,$	$\ell_2\,$	$-\infty\,$	$+\infty\,$	$-\infty\,$
alors $\lim (u_n+v_n) =\,$	$\ell_1+\ell_2\,$	$-\infty\,$	$+\infty\,$	On ne peut pas conclure

[modifier] Multiplication

Si $\lim u_n =\,$	$\ell_1\,$	$\ell>0\,$	$\ell<0\,$	$+\infty\,$	$+\infty\,$	$\ell=0\,$
et $\lim v_n =\,$	$\ell_2\,$	$+\infty\,$	$+\infty\,$	$+\infty\,$	$-\infty\,$	$+\infty\,$
alors $\lim (u_n\,v_n) =\,$	$\ell_1\,\ell_2\,$	$+\infty\,$	$-\infty\,$	$+\infty\,$	$-\infty\,$	On ne peut pas conclure