Introduction aux suites numériques/Suites adjacentes

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**Suites adjacentes**
Leçon : Introduction aux suites numériques

Chapitre 6
Chap. préc. :	Théorèmes sur les limites
Chap. suiv. :	Convergence d'une série géométrique

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Introduction aux suites numériques/Suites adjacentes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Suites adjacentes

Définition

Deux suites $(u_n)\,$ et $(v_n)\,$ sont adjacentes si et seulement si :

$(u_n)\,$ est croissante
$(v_n)\,$ est décroissante
$\lim_{n \to +\infty}(v_n -u_n) = 0$

Propriété

Si les suites $(u_n)\,$ et $(v_n)\,$ sont adjacentes alors pour tout entier n,

$u_n\leq v_n$

Démonstration

On pose $w n = u n - v n$ .

D'après les hypothèses sur $(u n)$ et $(v n)$ , la suite $(w n)$ est croissante.

Si l'on suppose qu'il existe un entier naturel p tel que $w p > 0$ ,

par croissance de $w n$ on a alors pour tout $n \geq p$ , $w_n\geq w_p$ .

Ceci contredit le fait que $w n$ converge vers 0.

[modifier] Convergence des suites adjacentes

Pour démontrer une convergence, il est souvent utile de construire deux suites adjacentes et d'utiliser le théorème suivant.

Théorème

Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite

Démonstration :

Soient $(u_n)\,$ et $(v_n)\,$ deux suites adjacentes,

on a pour tout $n\in\N\,$ ,

$u_0\leq u_n\leq v_n\leq v_0\,$

$(u_n)\,$ est donc croissante et majorée par $v_0\,$ donc $(u_n)\,$ converge vers un réel $l\,$ ,

De même $(v_n)\,$ est décroissante et minorée par $u_0\,$ donc $(v_n)\,$ converge vers un réel $l'\,$ ,

Mais $w_n=v_n-u_n\,$ converge donc à la fois vers 0 (par définition des suites adjacentes)

et vers $l'-l\,$ (théorème sur la limite d'une différence)

donc $l=l'\,$ .

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