Introduction aux suites numériques/Raisonnement par récurrence

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**Raisonnement par récurrence**
Leçon : Introduction aux suites numériques

Chapitre 9
Chap. préc. :	Applications simples aux mathématiques financières

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Introduction aux suites numériques/Raisonnement par récurrence », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Le raisonnement par récurrence permet de démontrer une propriété concernant des entiers naturels

(il ne fonctionne pas sur d'autres types de nombres).

Définition

Soit $(P_n)\,$ une propriété dépendant de l'entier naturel $n\,$

Soit $n\,$ un entier naturel quelconque,

Si $(P_n)\,$ implique $(P_{n+1})\,$ ,

alors on dit que $P_n\,$ est héréditaire.

L'axiome de récurrence est à la base du raisonnement du même nom :

Propriété

Axiome de récurrence

Soit $(P_n)\,$ une propriété dépendant de l'entier naturel $n\,$

et $n_0\,$ un entier naturel.

Si :

$(P_{n_0})\,$ est vraie

et $(P_n)\,$ implique $(P_{n+1})\,$ ( $P n$ est héréditaire)

alors $(P_n)\,$ est vraie pour tout entier naturel $n\ge (n_0)\,$ .

Tout raisonnement par récurrence suit alors trois étapes :

Initialisation : On vérifie que $(P_(n_0))\,$ est vraie.
Hérédité : On suppose que $(P_k)\,$ est vraie (où $k\,$ est un entier naturel). Cette supposition est l' hypothèse de récurrence.

On montre alors à partir de cette hypothèse que $(P_{k+1})\,$ est vraie.

Conclusion : L'axiome de récurrence permet de conclure que $(P_n)\,$ est vraie pour tout entier naturel $n\ge (n_0)_,$ .

[modifier] Exemple

Soit la suite $(u_n)\,$ définie pour tout entier naturel par : $\begin{cases} u_0 = 5 \\ u_{n+1}=\sqrt{2u_n-1} \end{cases}\,$ .
Montrer par récurrence que $(u_n)\,$ est minorée par 1.

Solution

Soit $(P_n)\,$ la propriété " $u_n\ge 1\,$ ".

Initialisation: $u_0 = 5\ge 1\,$ .
Hérédité: Supposons que $u_k\ge 1\,$ . On pose $k' = k+1\,$ .

Alors (comme $2\ge 0\,$ ) on a : $2u_k\ge 2\,$ donc $2u_k-1\ge 1\,$ soit $\sqrt{2u_k-1}\ge 1\,$ . Donc $u_{k'}\ge 1\,$ et la propriété est héréditaire.