Introduction aux suites numériques/Comportement asymptotique

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**Comportement asymptotique**
Leçon : Introduction aux suites numériques

Chapitre 4
Chap. préc. :	Suites géométriques
Chap. suiv. :	Théorèmes sur les limites

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Introduction aux suites numériques/Comportement asymptotique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Limite infinie

Définition

Une suite $(u n)$ a pour limite $+\infty$ si pour tout réel A, $u n > A$ à partir d'un certain rang. On note alors :

$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Une suite $u n$ a pour limite $-\infty$ si pour tout réel A, $u n < A$ à partir d'un certain rang. On note alors :

$\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$

[modifier] Suites bornées

Définition

Une suite ( $u n$ ) est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout n, $u_n \leq M$
Une suite ( $u n$ ) est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout n, $u_n \geq m$
Une suite ( $u n$ ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

[modifier] Exemple

Si pour $n > 0$ , $u_n = 2 +\frac{1}{n}$ . Démontrer que $u n$ est bornée.

[modifier] Cas des suites monotones

Propriété

Si $u n$ est croissante et non majorée, alors $u n$ tend vers $+\infty$
Si $u n$ est décroissante et non minorée, alors $u n$ tend vers $-\infty$

Démonstration

La suite $(u_n)\,$ est non majorée si et seulement si aucun réel $A\,$ ne majore tous les termes de la suite, autrement dit, si : pour tout réel $A\,$ , il existe un entier naturel N tel que $u_N>A\,$ .

Or, la suite $u\,$ est croissante donc pour tout entier naturel $n\ge N\,$ , $u_n\ge u_N\,$ . Comme $u_N>A\,$ , on a donc : pour tout réel $A\,$ , $u_n >u_N>A\,$ à partir d'un certain rang $N\,$ .

Par définition :
Une suite $(u_n)\,$ a pour limite $+\infty\,$ si pour tout réel $A\,$ , $u_n >A\,$ à partir d'un certain rang.
Donc, la suite $(u_n)\,$ croissante non majorée admet $+\infty\,$ comme limite.
La deuxième propriété se démontre de façon analogue.

[modifier] Limite finie

Définition

Soit L un réel. $u n$ a pour limite L signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On note : $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$
On dit alors que $u n$ est convergente et converge (ou tend) vers L

Remarque : Une suite non convergente est dite divergente, cela peut signifier :

soit que $u n$ tend vers + ou - $\infty$
Soit que $u n$ n'a pas de limite, par exemple $u n = ( - 1) n$ .

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Sommaire

[modifier] Limite infinie

[modifier] Suites bornées

[modifier] Exemple

[modifier] Cas des suites monotones

[modifier] Limite finie

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