Introduction aux suites numériques/Applications simples aux mathématiques financières
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| Chapitre 8 | |||
| Leçon : Introduction aux suites numériques | |||
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| Chap. préc. : | Convergence d'une série géométrique | ||
| Chap. suiv. : | Raisonnement par récurrence | ||
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Introduction aux suites numériques/Applications simples aux mathématiques financières », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les mathématiques financières concernent les problèmes du domaine financier pouvant être abordés au point de vue mathématique, et ils sont nombreux : prêts, intérêts, investissements, placements, etc.
On traitera ici les bases du calcul actuariel, visant à calculer le montant des mensualités ou annuités du remboursement d'un prêt.
Sommaire |
[modifier] Notations
- a indiquera un versement périodique : (annuités, mensualités, trimestrialités, ...)
- i indiquera le taux d'intérêt sous forme décimale. Ainsi, le taux de 6 % sera donc 0,06.
- n indiquera le nombre de versements ou d'annuités.
[modifier] La valeur acquise
La valeur acquise est le montant que je pourrai obtenir dans un certain nombre de périodes (n) d'un placement (C)
que je fais aujourd'hui avec un taux d'intérêt fixe (i)
À la fin de la première période, les intérêts sont de :
.
Ce qui donne pour capitalisation (somme du capital initial et des intérêts):
.
La nouvelle capitalisation au terme de la deuxième période est :
et ainsi de suite...
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Propriété |
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La somme obtenue au terme de la n-ième et dernière période s'appelle la valeur acquise, dont la formule générale est : |
[modifier] Exemple
Un épargnant place 300 € sur un livret d'épargne rémunéré à 3,35 % l'an. Combien disposera-t-il dans 10 ans ?
[modifier] La valeur actuelle
La valeur actuelle d'une somme future est la somme qu'il faut placer maintenant
pour obtenir la somme future en question.
D'après le calcul précédent, on a :
, ce qui donne 
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Propriété |
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[modifier] Exemple
Une personne promet à son fils de lui verser la somme de 1500 € dans 10 ans.
À raison d'une inflation de 5 % l'an, quelle est le montant réel de la somme aujourd'hui ?
[modifier] Valeur actuelle d'une suite de versements
Ceci concerne notamment les emprunts avec des remboursements fixes à taux fixe.
On rembourse au terme de chaque période selon le schéma suivant :
La valeur actuelle de la suite de versement est la somme des valeurs actuelles de tous les versements :
![V_{act}= a\, \bigg[ (1+i)^{-1} + (1+i)^{-2} + (1+i)^{-3} + ... + (1+i)^{2-n} + (1+i)^{1-n} + (1+i)^{-n} \bigg]](http://upload.wikimedia.org/math/2/7/e/27e8aea1c614b78ca4be774b2df2c9ba.png)
![V_{act}\,(1+i) = a\, \bigg[ 1 + (1+i)^{-1} + (1+i)^{-2} + (1+i)^{-3} + ... + (1+i)^{2-n} + (1+i)^{1-n} \bigg]](http://upload.wikimedia.org/math/0/4/d/04de94b7b8ebbb61bf22c298c2c7c79a.png)
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Le résultat est donc |
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[modifier] Remboursement d'un prêt
La formule précédente permet de calculer les versements correspondants au remboursement d'un prêt.
En effet, La banque prêtant un capital C aujourd'hui, il faut que la valeur actuelle
de la suite des versements soit égale à C, pour que la banque ne perde pas à prêter
un capital qu'elle aurait pu investir.
On a donc en inversant la formule précédente, pour un capital prêté C, le versement périodique :
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Théorème |
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[modifier] Taux proportionnel et taux d'équivalence
Le taux proportionnel est un taux calculé au prorata temporis d'une période déterminée.
Ainsi, si un taux des de 12 % l'an, il sera calculé à 1% par mois 
.
Un tel taux se calcule normalement dans une période non soumise à capitalisation.
Le taux d'équivalence à est égal non pas en calculant un rapport,
mais une racine ou un exposant de n périodes.
Ainsi, le taux de 12 % sera donc égal à :
![\sqrt[12]{1,12} -1 = 0,0094888](http://upload.wikimedia.org/math/5/3/5/535025bde959096b54ee354ff7c370d5.png)
, soit 0,94888 %.
La formule est donc : ![\sqrt[n]{1+i}-1](http://upload.wikimedia.org/math/6/6/e/66eefae1381e4466c87cbd324b70860a.png)
Ce taux doit normalement être utilisé pour calculer l'intérêt mensuel d'un emprunt, ce que ne font pas évidemment les banques qui utilisent le taux proportionnel lequel est plus fort, si nous faisons la comparaison avec le taux en question. Ainsi un taux mensuel de 1 % ne correspond pas à un taux de 12 % mais de 12,68 % (1,0112 − 1).
