Une page de Wikiversité.

< Introduction à la mécanique des fluides

**Rappels de Mathématiques**
Leçon : Introduction à la mécanique des fluides

Chapitre {{{numero}}}
Chap. préc. :	Lois de la mécanique

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Introduction à la mécanique des fluides : Rappels de Mathématiques
Introduction à la mécanique des fluides/Rappels de Mathématiques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 chapitre 1er
2 chapitre 2nd
3 opérateur différentiels
4 Relations entre opérateurs et relations intégrodifférentielles

[modifier] chapitre 1er

Definitions

mécanique: science du mouvement et de l'équilibre

mouvement: cinématique , qui cherche a déterminer la trajectoire.

Pour rappel, on a:

$M(t) = \vec {OM} (t)$

$\vec v= {d \vec v \over dt}$

${d \vec v \over dt }=\Gamma (t)$

science: étude de quelque chose, on remonte aux causes.

causes: Forces , Newton: $\sum \vec F = {d \vec p \over dt}$ et $\vec {p} = m \vec {v}$

Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels a la force motrice et se font dans la ligne dans laquelle la force a été imprimée. La quantité de mouvement est le produit de la masse par la vitesse.

Fluide: somme des gaz et des liquides. Le fluide est un corps qui ne peut pas conserver un effort de cisaillement pendant une durée quelconque.

Equation de Navier-Stokes:

$\rho [ {\partial {\vec v} \over {\partial t} } + (\vec {\nabla} \wedge \vec v) + {1 \over 2} \vec {\nabla} v^2]= - \rho \overrightarrow{\nabla \phi}- \vec {\nabla} p + \overrightarrow{ \nabla \tilde \sigma }' \,$

avec $\rho \,$ la masse volumique, $\phi \,$ l'energie potentielle par unité de masse, et $\tilde {\sigma}' \,$ le tenseur des contraintes visqueuses.

[modifier] chapitre 2nd

[modifier] opérateur différentiels

1) Scalaire, vecteur et tenseur

a) Scalaire

Un scalaire est un nombre réel, une unité

Un champ scalaire est un scalaire définit en chaque point d'un espace donné.

b) Vecteur

Un vecteur se définit par son intensité, son orientation. C'est aussi une unité.

Un champ vectoriel est un vecteur définit en chaque point d'un espace a deux dimensions donné.

c) Tenseur d'ordre 2

Un tenseur d'ordre 2 est un outil mathématique qui regroupe 9 nombres réels. C'est aussi l'unité supérieur au vecteur.

Un champ tensoriel définit les vecteurs pour chaque orientation vectorielle. Pour exemple, on peut s'intéresser au tenseur des déformations.

2) Opérateurs

a) Opérateur gradient

$\overrightarrow{grad} f = \overrightarrow{\nabla f}$

$= {\partial f \over \partial x } \vec e_x + {\partial f \over \partial y } \vec e_y + {\partial f \over \partial z } \vec e_z \,$

$= \sum[i] {\partial f \over \partial x_i}\vec e_i = \sum[i] \partial f \vec e_i \,$

$= \partial f \vec e_i \,$

Convention d'Einstein:

Si un indice est répété 2 fois, on sous entends qu'il faut faire la somme des 3 composantes de cet indice.

$( \tilde{\nabla} \vec n )_{ij} = \partial_j v_i \,$

b) Opérateur divergence

$\overrightarrow {div} \vec v = \vec { \nabla} \vec v$

$\partial_i v_i = {\partial v_x \over \partial x }+ { \partial v_y \over \partial y} + {\partial v_z \over \partial z }$

$\overrightarrow{div} \vec v = O \rightarrow$ conservation de la masse.

$\vec {\nabla} \tilde T = \partial_j T_{ij} \vec e_i$

c) Opérateur rotationel

$\overrightarrow {rot} \wedge \vec v = \begin{vmatrix} \vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}$

$\begin{cases} \varepsilon_{xxx}= \varepsilon_{yyy}= \varepsilon_{zzz}=0 \\ \varepsilon_{xxy}= \varepsilon_{yxx}=\varepsilon_{xyx}=0 \\ \varepsilon_{xyz}=\varepsilon_{yxz}=\varepsilon_{zxy}=1 \\ \varepsilon_{xzy}=...=1 \end{cases}$

d) Opérateur Laplacien

Laplace est le Newton francais: il a rendu toutes les théories newtoniennes géométriques en algébrique. Pour satisfaire le besoin de passer de la force gravitationelle au potentiel gravitationel, on utilise le Laplacien.

$\Delta f \cong \vec {\nabla} \vec {\nabla f} = \sum[i] \partial_i\partial_if\vec e_i \vec e_i = {\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2 } + {\partial^2 f \over \partial z^2}$

$= \partial_{ii} f$

$= \Delta \vec v = \partial_i\partial_i\vec v$

$(\tilde { \Delta \vec v})_(ij) = {\partial^2 v_i \over \partial x_j}$

[modifier] Relations entre opérateurs et relations intégrodifférentielles

1) Relations entre opérateurs

$\Delta f = \vec {\nabla} \vec {\nabla f}$

$\vec {\nabla} \wedge \vec {\nabla f} = \vec 0$

$\vec {\nabla}.\vec {\nabla} \wedge \vec v = \vec 0$

$\overrightarrow{\nabla ( \vec{\nabla}. \vec v}) = \vec {\nabla} \wedge ( \vec {\nabla} \wedge \vec v ) - \Delta \vec v$

Avec $\delta \,$ le symbole de Kronecker, on a donc:

$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{lk} \,$

$\delta_{xx}= \delta_{yy}=\delta_{zz}=1, \delta_{xy}=...=0 \,$

$\overrightarrow{\nabla (\vec A \vec B)} = \vec A \wedge (\vec{\nabla} \wedge \vec B) +\vec B \wedge (\vec{\nabla}\wedge \vec A) + (\vec B \vec {\nabla})\vec A + (\vec A \vec {\nabla})\vec B \,$

$\rightarrow {1 \over 2} \vec {\nabla} \vec v ^2 = \vec v \wedge ( \vec {\nabla} \wedge \vec v) + (\vec v \vec {\nabla})\vec v$

Introduction à la mécanique des fluides

Lois de la mécanique

Introduction à la mécanique des fluides/Rappels de Mathématiques

Une page de Wikiversité.

Sommaire

[modifier] chapitre 1er

[modifier] chapitre 2nd

[modifier] opérateur différentiels

[modifier] Relations entre opérateurs et relations intégrodifférentielles

Affichages

Outils personnels

Rechercher

Navigation

Contribuer

Imprimer / exporter

Boîte à outils