Introduction à la mécanique quantique/Annexe/Solutions exactes

Il existe un ensemble relativement restreint de solutions exactes à l'équation de Schrödinger. En voici quelques unes, sans démonstration.

Particule libre

La fonction d'onde d'une particule libre possédant une quantité de mouvement $\mathbf {p}$ et une énergie ${\mathcal {E}}$ est de la forme :

$\Psi =\mathrm {C} \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\left(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -{\mathcal {E}}t\right)\right]$

Avec $\lambda =2\pi \hbar /p$ la longueur d'onde de de Broglie associée à la particule. La mécanique classique correspond au cas limite d'une longueur d'onde de de Broglie nulle.

Puits de potentiel

Les niveaux d'énergie d'une particule dans un puits de potentiel de largeur $a$ sont quantifiés et tendent vers l'infini :

${\mathcal {E}}_{n}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\pi ^{2}{\frac {n^{2}}{a^{2}}}\qquad (n=1,2,3,...)$

La fonction d'onde de l'état stationnaire est alors :

$\psi _{n}(x)=\mathrm {C} \sin \left({\frac {n\pi x}{a}}\right)\qquad (0<x<a)$

Oscillateur harmonique

Les niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique sont :

${\mathcal {E}}_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega \qquad (n=0,1,2,...)$

La fonction d'onde en régime stationnaire est de la forme :

$\psi _{n}(x)=\mathrm {C} e^{-{\frac {(\alpha x)^{2}}{2}}}H_{n}(\alpha x),\quad \alpha ={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}$

où les $H_{n}$ sont les polynômes d'Hermite.

Particule dans un potentiel à symétrie sphérique

La fonction d'onde d'une particule dans un potentiel $U=(r)$ est de la forme :

$\psi =R(r)Y_{l,m}\left(\theta ,\phi \right)$

où les $Y_{l,m}$ sont les harmoniques sphériques. Les états correspondant aux valeurs $l=0,1,2,3,4,...$ du moment angulaire sont indiqués par les lettres $s,p,d,f,g,...$. Il est intéressant de remarquer que l’on peut séparer la partie « radiale » (qui dépend de r uniquement) de la partie « angulaire » (qui dépend des deux paramètres angulaires).

Particule dans un champ coulombien

Les niveaux d'énergie d'une particule dans un potentiel coulombien attractif $U=-\alpha /r$ sont :

${\mathcal {E}}_{n}=-{\frac {m\alpha ^{2}}{2\hbar ^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}\qquad (n=1,2,3,...)$

La partie radiale de la fonction d'onde associée à l'état stationnaire ($\alpha ,m,\hbar$ étant ramenés à l'unité) est :

$R_{n,l}=\mathrm {C} e^{-r/n}\left({\frac {2r}{n}}\right)^{l}L_{n+l}^{2l+1}(2r/n)$

où les $L_{n+l}^{2l+1}$ sont les polynômes généralisés de Laguerre.

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