Intégration (mathématiques)/Exercices/Propriétés de l'intégrale

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**Propriétés de l'intégrale**
Leçon : Intégration (mathématiques)

Exercice 1

Cet exercice est de niveau 14.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Propriétés de l'intégrale
Intégration (mathématiques)/Exercices/Propriétés de l'intégrale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Exercice 1

Soit $\ f : [0,1] \to [0,1]$ continue non nulle telle que $\int_{0}^{1} f(x)\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} f^2(x)\mathrm{d}x$

Montrer que $\ f(x) = 1$ pour tout $x \in [0,1]$ .

Solution

Comme $f(x) \leqslant 1$ et $f(x) \geqslant 0$ alors $f^2(x) \leqslant f(x)$ .

En intégrant, on a :

$\int_0^1 f^2(x)\mathrm{d}x \leqslant \int_0^1 f(x)\mathrm{d}x.$

Or si $f (x) < 1$ pour tout $x\in[0,1]$ alors :

f 2 (x) < f (x)

et :

f (x) - f 2 (x) > 0.

La fonction $g : x \mapsto f(x) - f^2(x)$ prenant au moins une valeur strictement positive sur $[0,1]$ , nous pouvons écrire :

$\int_0^1 \left[f(x) - f^2(x)\right]\mathrm{d}x > 0$

d'où :

$\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x > \int_0^1 f^2(x)\mathrm{d}x$

soit :

$\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x \neq \int_0^1 f^2(x)\mathrm{d}x.$

Ainsi, l'égalité cherchée ne peut avoir lieu que si $f (x) = 1$ , qui est d'ailleurs aussi une condition suffisante puisque l'on aurait :

$\int_0^1 1^2\mathrm{d}x = \int_0^1 1\mathrm{d}x = 1.$

La condition recherchée est démontrée.

[modifier] Exercice 2

Soit $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ continue telle que $\int_{0}^{1} f(x)\mathrm{d}x = \tfrac{1}{2}.$

Montrer qu'il existe $c \in ]0,1[$ tel que $\ f(c) = c.$

Solution

Remarquons que :

$\begin{align} \int_0^1 x\mathrm{d}x &= \left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^1 \\ &= \frac{1}{2}. \end{align}$

On a alors :

$\int_{0}^{1} f(x)\mathrm{d}x = \int_0^1 x\mathrm{d}x$

d'où :

$\int_{0}^{1} [f(x) - x]\mathrm{d}x = 0.$

Les fonctions $y = f (x)$ et $y = x$ étant toutes deux continues, $g : x \mapsto f(x) - x$ l'est aussi.

Supposons que $g$ ne s'annule jamais sur $]0,1[$ , avec, par exemple, $f (x) > x$ pour tout élément $x$ de $]0,1[$ . Par continuité, $f(0) \geqslant 0$ et $f(1) \geqslant 0$ . Nous aurions donc :

$\int_0^1 [f(x)-x]\mathrm{d}x > 0$

soit :

$\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x > \int_0^1 x\mathrm{d}x$

et :

$\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x \neq \int_0^1 x\mathrm{d}x.$

Nous aboutissons à la même conclusion si l'on suppose que $f (x) < x$ .

La fonction $g$ est donc soit la fonction nulle soit une fonction prenant des valeurs positives et négatives sur $]0,1[$ . Dans tous les cas, du fait de sa continuité, elle s'annule au moins une fois, à un point $c$ , sur cet intervalle.

[modifier] Exercice 3

Montrer que la suite définie par $\ \mathit{u}_n = \sum_{k=1}^n \cfrac{n}{n^2 + k^2}$ converge et calculer sa limite.

Solution

Posons : $f : x \mapsto \frac{1}{1+x^2}.$

En divisant par $n 2$ aux nominateurs et dénominateurs de la somme, on a :

$\begin{align} u_n &= \sum_{k=1}^n \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{k^2}{n^2}} \\ &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2} \\ &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \end{align}$

Nous reconnaissons une somme de Riemann de $f$ associée à la partition de $[0,1]$ en $n$ sous-segments. Or $f$ est continue et intégrable sur $[0,1]$ . Sa somme de Riemann $u n$ converge donc vers $\scriptstyle \int_0^1 f(x)\mathrm{d}x$ .

$\begin{align} \lim_{n\to +\infty} u_n &= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x \\ &= \left[\arctan x\right]_0^1 \\ &= \frac{\pi}{4} \end{align}$

Se reporter au Chapitre 3 du cours de Trigonométrie pour la dérivée de la fonction $arctan$ .

[modifier] Exercice 4

Soient $f$ une fonction continue, T-périodique sur $\scriptstyle\mathbb{R}$ , et $a < b$ dans $\scriptstyle\mathbb{R}$ . Montrer que $\int_{a}^{b} f\, = \int_{a+T}^{b+T} f\, .$

Solution

Considérons la somme de Riemann de $f$ définie par :

$S_n = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right).$

Comme $f$ est T-périodique, alors pour toute valeur de $X$ , $f (X + t) = f (X)$ . Ainsi :

$\begin{align} S'_n &= \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f\left(a + k\frac{b-a}{n} + T\right) &= \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) &= S_n \end{align}$

donc :

$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} S'_n = \int_{a+T}^{b+T} f(x)\mathrm{d}x$

Soient $f$ une fonction impaire sur $\scriptstyle\mathbb{R}$ , et $\scriptstyle a \geqslant 0$ . Que dire de $\int_{-a}^{a} f(x)\mathrm{d}x$ ? Quid si $f$ est paire ?

Solution

Pour $f$ impaire, on a :

$\begin{align} \int_{-a}^a f(x)\mathrm{d}x &= \int_{-a}^0 f(x)\mathrm{d}x + \int_0^a f(x)\mathrm{d}x \\ &= \int_{-a}^0 -f(-x)\mathrm{d}x + \int_0^a f(x)\mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^a -f(x)\mathrm{d}x + \int_0^a f(x)\mathrm{d}x \\ &= 0 \end{align}$

Pour $f$ paire, on a :

$\begin{align} \int_{-a}^a f(x)\mathrm{d}x &= \int_{-a}^0 f(x)\mathrm{d}x + \int_0^a f(x)\mathrm{d}x \\ &= \int_{-a}^0 f(-x)\mathrm{d}x + \int_0^a f(x)\mathrm{d}x \\ &= \int_0^a f(x)\mathrm{d}x + \int_0^a f(x)\mathrm{d}x \\ &= 2\int_0^a f(x)\mathrm{d}x. \end{align}$

[modifier] Exercice 5

Soient $0 < a < b$ et $f$ une fonction continue sur $\scriptstyle\mathbb{R}_+$ . Déterminer

$\lim_{x \to 0^{+}} \int_{ax}^{bx} \frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t.$

Solution

Tout d'abord, fixons $\scriptstyle x \in \mathbb{R}_+^*$ . On va se ramener à l'étude de la convergence de

$\int_{a}^{b} \frac{f(tx)}{t}\mathrm{d}t$

quand $x$ tend vers $0$ .

En effet, par changement de variables à l'aide de la fonction $\varphi : [a,b] \to [ax,bx], w \mapsto wx$ de classe $C 1$ , on a :

$\begin{align} \int_{ax}^{bx} \frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t &= \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} \frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t \\ & = \int_{a}^{b} \frac{f(\varphi(t))}{\varphi(t)} \varphi'(t)\mathrm{d}t \\ & = \int_{a}^{b} \frac{f(tx)}{t}\mathrm{d}t \qquad (1) \\ \end{align}$

Remarque : la fonction $g$ qui, à un réel strictement positif $t$ , associe le réel $\frac{f(t)}{t}$ , est continue sur $\scriptstyle\mathbb{R}_+^*$ et donc Riemann-intégrable sur tout segment inclus dans $\scriptstyle\mathbb{R}_+^*$ .

On remarque qu'à $\scriptstyle t \in \mathbb{R}_+^*$ fixé, par continuité de $f$ en 0, on a

$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(tx)}{t} = \frac{f(0)}{t}.$

Montrons que

$\lim_{x\to 0^{+}} \int_{ax}^{bx} \frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t = \int_{a}^{b} \frac{f(0)}{t}\mathrm{d}t = f(0)\ln\left(\frac{b}{a}\right).$

Pour cela, on revient à la définition en epsilon.

Soit $\scriptstyle\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*$ . Par continuité de $f$ en 0, il existe $\scriptstyle \delta \in \mathbb{R}_+^*$ tel que :

$\forall x \in ]0,\delta[ \quad |f(x)-f(0)| \le \frac{\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}.\qquad (2)$

Fixons $\scriptstyle x \in \left]0,\eta\right[$ où $\scriptstyle \eta = \frac{\delta}{b}$ . Par (1) on a tout d'abord

$\left|\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t - \int_{a}^{b} \frac{f(0)}{t}\mathrm{d}t\right| = \left|\int_{a}^{b} \frac{f(tx)}{t}\mathrm{d}t - \int_{a}^{b} \frac{f(0)}{t}\mathrm{d}t\right|$

et en utilisant la linéarité de l'intégration et la propriété de continuité de l'intégration, on obtient

$\begin{align} \left|\int_{ax}^{bx} \frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t - \int_{a}^{b} \frac{f(0)}{t}\mathrm{d}t\right| & = \left|\int_{a}^{b}\left[\frac{f(tx)}{t} - \frac{f(0)}{t}\right]\mathrm{d}t\right| \\ & \le \int_{a}^{b} \frac{|f(tx)-f(0)|}{t}\mathrm{d}t.\qquad (3) \\ \end{align}$

Pour $\scriptstyle t \in [a,b]$ , on a

$0 < tx \le bx < \delta$

car $\scriptstyle 0 < a \le t \le b$ et $\scriptstyle x < \frac{\delta}{b}$ d'où, de (2),

$|f(tx) - f(0)| \le \frac{\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}.\qquad (4)$

En utilisant (3) et (4) et la croissance de l'intégration, on obtient

$\left|\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t - \int_{a}^{b} \frac{f(0)}{t}\mathrm{d}t\right| \le \int_{a}^{b} \frac{\varepsilon}{t\ln\left(\frac{b}{a}\right)}\mathrm{d}t = \varepsilon.$

Finalement, on a démontré

$\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^* \quad \exists \eta \in \mathbb{R}_+^* \quad \forall x \in ]0,\eta[ \quad \left|\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t - \int_{a}^{b} \frac{f(0)}{t}\mathrm{d}t\right| \le \varepsilon$

i.e.

$\lim_{x \to 0^{+}} \int_{ax}^{bx} \frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t = \int_{a}^{b} \frac{f(0)}{t}\mathrm{d}t = f(0)\ln\left(\frac{b}{a}\right).$

[modifier] Exercice 6

Soient $f,g : [0,1] \to \mathbb{R+}$ continues telles que $fg \ge 1$ . Montrer

$\int_{0}^{1} f\, \int_{0}^{1} g\, \ge 1.$

Solution

On a $1 \le \sqrt {fg}$ , comme les deux fonctions sont positives.

D'où : $1 = \int_0^1 1 dx \le \int_0^1 \sqrt {fg}$ .

On applique ensuite l'inégalité de Cauchy-Schwartz : $1 \le \int_0^1 \sqrt {fg} \le \int_{0}^{1} \sqrt{f}^2\, \int_{0}^{1} \sqrt{g}^2\,=\int_{0}^{1} f\, \int_{0}^{1} g$ .

[modifier] Exercice 7

Soit a > 0 et $f : [0,a] \to \mathbb{R}$ de classe $C 1$ telle que $\ f(0)=0$ . Montrer que :

$\int_{0}^{a} |f(t)|^2\, dt \le \frac{a^2}{2}\int_{0}^{a} |f'(t)|^2\, dt.$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

[modifier] Exercice 8

Soit a > 0 et $f : [-a,a] \to \mathbb{R}$ de classe $C 2$ . Montrer que :

$\forall t \in [-a,a],\quad |f'(t)| \le \frac{1}{2a}|f(a)-f(-a)|+\frac{a^2+t^2}{2a}\sup_{[-a,a]}|f''|$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

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Sommaire

[modifier] Exercice 1

[modifier] Exercice 2

[modifier] Exercice 3

[modifier] Exercice 4

[modifier] Exercice 5

[modifier] Exercice 6

[modifier] Exercice 7

[modifier] Exercice 8

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