Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et exponentielles

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Primitives et exponentielles
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Exercice 4
Leçon : Initiation au calcul intégral
Chapitre du cours : Initiation au calcul intégral

Cet exercice est de niveau 12.
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Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et exponentielles  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Méthode

Pour trouver une primitive d'une fonction contenant une exponentielle, on commence par la méthode suivante, qui consiste à reconnaître une forme dérivée à une constante multiplicative près.


Théorème

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors eu est dérivable sur I et :

(e^u)'=u'\times e^u\,

[modifier] Exercice 1

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur \R par

f:x\mapsto e^{2x+1}\,

Ici, pour tout x\in\R,~u(x)=\cdots et u'(x)=\cdots

Donc une primitive de f sur \R est F:x\mapsto\cdots

Solution

Ici, pour tout x\in\R,~u(x)=2x+1 et u'(x) = 2

Donc une primitive de f sur \R est F:x\mapsto\frac12e^{2x+1}

[modifier] Exercice 2

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur \R par

f:x\mapsto x\times e^{x^2+1}\,

Ici, pour tout x\in\R,~u(x)=\cdots et u'(x)=\cdots

Donc une primitive de f sur \R est F:x\mapsto\cdots

Solution

F:x\mapsto\frac12e^{x^2+1}

[modifier] Exercice 3

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur \R par

f:x\mapsto 3e^{-4x+1}\,

Ici, pour tout x\in\R,~u(x)=\cdots et u'(x)=\cdots

Donc une primitive de f sur \R est F:x\mapsto\cdots

Solution

F:x\mapsto -\frac34e^{-4x+1}

[modifier] Exercice 4

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur \R par

f:x\mapsto 5x^2e^{2x^3+1}\,

Ici, pour tout x\in\R,~u(x)=\cdots et u'(x)=\cdots

Donc une primitive de f sur \R est F:x\mapsto\cdots

Solution

F:x\mapsto \frac56 e^{2x^3+1}

[modifier] Exercice 5

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur \R par

f:x\mapsto 5\sin(x)\times e^{\cos(x)+3}\,

Ici, pour tout x\in\R,~u(x)=\cdots et u'(x)=\cdots

Donc une primitive de f sur \R est F:x\mapsto\cdots

Solution

F:x\mapsto -5 e^{\cos(x)+3}

[modifier] Exercice 6

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur \R par

f:x\mapsto 5 e^{x+3}+x-1\,

Ici, pour tout x\in\R,~u(x)=\cdots et u'(x)=\cdots

Donc une primitive de f sur \R est F:x\mapsto\cdots

Solution

F:x\mapsto 5e^{x+3}+\frac{x^2}2-x

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