Groupe (mathématiques)/Théorèmes de Sylow

Une page de Wikiversité.

Groupe (mathématiques)/Théorèmes de Sylow est une ébauche concernant les mathématiques. Vous pouvez aider le projet Wikiversité en l'améliorant.

**Théorèmes de Sylow**
Leçon : Groupe

Chapitre 10
Chap. préc. :	Produit de groupes
Chap. suiv. :	Sous-groupes caractéristiques

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Groupe (mathématiques) : Théorèmes de Sylow
Groupe (mathématiques)/Théorèmes de Sylow », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Les théorèmes de Sylow sont d'une grande importance dans l'étude des groupes finis.

Ils concernent les p-sous-groupes, autrement dit, les sous-groupes de cardinal une puissance de p. Le premier théorème affirme l'existence d'un sous-groupe dit de Sylow, un sous-groupe de cardinal la plus grande puissance de p divisant le cardinal de G. Le deuxième théorème permet une information supplémentaire sur leur quantité. Il s'appuie sur l'équation aux classes.

[modifier] Les p-groupes

Dans tout le chapitre, p désigne un nombre premier.

p-groupe

Un p-groupe est un groupe fini de cardinal une puissance de p.

Les premiers exemples de p-groupe sont les groupes cyclique d'ordre pⁿ. Par le théorème de classification des groupes abéliens, les p-groupes commutatifs sont exactement les produits directs de groupes cycliques d'ordre pⁿ. Mais la structure des p-groupes non commutatifs est comprise :

Propriétés

Un sous-groupe d'un p-groupe est un p groupe.

Le centre d'un p-groupe est non réduit à l'élément neutre.

Un p-groupe de cardinal p ou p² est nécessairement commutatif et donc isomorphe à $\scriptstyle \mathbb Z / p \mathbb Z$ , à $\scriptstyle \mathbb Z / p^2 \mathbb Z$ ou à $\scriptstyle \mathbb Z / p \cdot \mathbb Z \times \mathbb Z /p \cdot \mathbb Z$ .

Démonstration

La première affirmation découle directement du théorème de Lagrange. Le cardinal d'un sous-groupe H d'un groupe G doit diviser le cardinal de G. Si le cardinal de G est une puissance de p, par le lemme d'Euclide, le cardinal de H est donc une puissance de p.

Soit G un p-groupe de cardinal pⁿ. Écrivons l'équation aux classes pour l'action du groupe G sur lui-même par conjugaison :

$\mathrm{Card} \left(G\right)= \mathrm{Card} \left(Z\left(G\right)\right)+\sum_{x\in X}\frac{\mathrm{Card}\left(G\right)}{\mathrm{Card} \left(\mathrm{Stab}\left(x\right) \right)}$

où X est un ensemble de représentants des orbites de cardinal supérieur à 2. Pour un tel représentant x, son stabilisateur est un sous-groupe strict de G ; par le premier point, son cardinal est p^k avec k<n. En particulier, p divise la somme. Donc p divise le cardinal du centre de G. Comme le centre de G est non vide, il doit contenir au moins p>2 éléments distincts. En particulier, il n'est pas réduit à l'élément neutre.

Soit G un p-groupe de cardinal p ou p²; prouvons que G est commutatif. Si l'ordre de G est égal au nombre premier p, il résulte du théorème de Lagrange que les seuls sous-groupes de G sont 1 et G. Choisissons dans G un élément x distinct de 1. Le sous-groupe de G engendré par x n'est pas réduit à 1, donc, d'après ce qui précède, il est égal à G tout entier. Ainsi, G est cyclique et donc commutatif. Passons au cas où l'ordre de G est p². Nous avons vu que le centre Z(G) n'est pas réduit à 1, donc (théorème de Lagrange) est d'ordre p ou p². Dans le second cas, le centre de G est G tout entier, donc G est commutatif comme annoncé. Reste le cas (impossible, comme nous le verrons) où Z(G) est d'ordre p. Alors le groupe quotient $G / Z (G)$ est d'ordre p et est donc cyclique d'après la première partie de la démonstration. Il nous suffit donc de prouver que, de façon générale, si G est un groupe, si le groupe quotient $G / Z (G)$ est cyclique, alors G est commutatif. Soit a un élément de G dont la classe suivant Z(G) engendre G/Z(G). Alors tout élément de G est de la forme

$\ a^{n}z$ , avec $n \in \mathbb{Z}$ et $z \in Z(G)$ .

On en tire facilement que G est commutatif. Nous avons donc prouvé que si G est d'ordre p², il est commutatif (et notre hypothèse selon laquelle Z(G) est d'ordre p est donc fausse). D'après le théorème sur la structure des groupes finis commutatifs, G est isomorphe à $\scriptstyle \mathbb Z / p^2 \mathbb Z$ ou à $\scriptstyle \mathbb Z / p \cdot \mathbb Z \times \mathbb Z /p \cdot \mathbb Z$ . (On pourrait d'ailleurs se passer du théorème sur la structure des groupes finis commutatifs. Si G n'admet pas d'élément d'ordre

p 2

, tout élément de G distinct de 1 est d'ordre p. On peut donc trouver dans G un élément x d'ordre p et un élément y d'ordre p qui n'appartient pas au sous-groupe <x> de G engendré par x. Alors le sous-groupe $<x> \cap <y>$ de <y> a pour ordre un diviseur de p et n'est pas <y> tout entier, donc $<x> \cap <y> = 1$ , d'où on tire facilement que G est produit direct de <x> et de <y>.)

[modifier] Premier théorème de Sylow

Premier théorème de Sylow

Si G est un groupe de cardinal n, et m est la valuation p-adique de n, alors il existe un sous-groupe de G de cardinal p^m. De tels sous-groupes sont appelés sous-groupes de Sylow.

Remarque préliminaire : Le groupe $\mathbb Z/p \cdot \mathbb Z$ muni de la multiplication est un corps de cardinal p.

On peut admettre que les corps finis sont classifiés selon leurs cardinaux : à isomorphisme près, il existe un unique corps de cardinal r=p^m, noté $\mathbf F_r$ . Le groupe $G=GL_n\left(\mathbf{F}_{p^m}\right)$ est un groupe fini dont le cardinal est :

$\left(p^{mn}-1\right)\left(p^{mn}-p^{m}\right) \cdots \left(p^{mn}-p^{m\left(n-1\right)}\right) = p^{m \cdot \frac{n\left(n-1\right)}{2}} \cdot \prod_{k=1}^n \left(p^{mn-mk+m}-1 \right)$

Sa valuation p-adique est donc $m \cdot \frac{n\left(n-1\right)}{2}$ . L'ensemble des matrices triangulaires supérieures de taille n à coefficients dans $\mathbf{F}_{p^m}$ et avec des 1 sur la diagonale est un sous-groupe de G, de cardinal $p^{m \cdot \frac{n\left(n-1\right)}{2}}$ . Le premier théorème de Sylow est donc confirmé dans cet exemple.

Lemme

Lemme : Sous les notations du premier théorème de Sylow, si H est un sous-groupe de G, et si S est un p-Sylow de G, alors il existe un sous-groupe conjugué à S intersectant H en un p-Sylow de H.

Preuve du lemme

Écrivons l'équation aux classes pour l'action de H sur G/S par translation à gauche. Le stabilisateur d'une classe a·S est $\scriptstyle aSa^{-1}\cap H$ , qui est un p-groupe, comme sous-groupe de S. L'équation aux classes donne :

$\mathrm{Card}(G/S)=\sum_{x\in X} \frac{\mathrm{Card}(H)}{\mathrm{Card}(xSx^{-1}\cap H)}$

où la somme porte sur un ensemble de représentants des orbites. Comme S est un p-Sylow de G, p ne divise pas le cardinal de G/S ; il existe donc au moins un représentant $\scriptstyle x\in X$ pour lequel p ne divise pas $\scriptstyle \mathrm{Card}(H)/\mathrm{Card}(xSx^{-1}\cap H)$ . Autrement dit, la valuation p-adique du cardinal de H est la valuation p-adique du cardinal de $\scriptstyle xSx^{-1}\cap H$ . Comme $\scriptstyle xSx^{-1}\cap H$ est p-sous-groupe de H, c'est un p-Sylow de H, d'où le résultat.

Preuve du premier théorème de Sylow

Par le théorème de Cayley, l'action de G sur lui-même par translation à gauche définit un morphisme injectif de G dans le groupe des permutations S(G). Si n est le cardinal de G, alors S(G) s'injecte dans $\scriptstyle H=GL_n(\mathbf{F}_p)$ . La remarque préliminaire donne l'existence d'un p-Sylow S de H. Le lemme précédent permet d'en déuire l'existence d'un sous-groupe de H conjugué à S, intersectant G selon un p-Sylow de G.

[modifier] Deuxième Théorème de Sylow

Deuxième théorème de Sylow

Sous les hypothèses précédentes,

Tout sous-groupe de G de cardinal une puissance de p est contenu dans un sous-groupe de Sylow de G. Autrement dit, les sous-groupes de Sylow sont les p-sous-groupes maximaux de G.
Les sous-groupes de Sylow sont conjugués et leur nombre est égal à 1 modulo p.

Démonstration

Maximalité : Si H est un sous-groupe de G et S un p-Sylow de G, le lemme précédent donne l'existence d'un élément g de G tel que $\scriptstyle gSg^{-1}\cap H$ soit un p-Sylow de H. Mais si H est un p-groupe, H est l'unique p-Sylow de H. Donc, H est inclus dans $g S g - 1$ qui est un p-Sylow de G conjugué à S.

Tous les p-Sylow de G ont (par définition) le même cardinal. En particulier, si H est un p-Sylow, alors H est égal à $g S g - 1$ . Les p-Sylows de G sont deux à deux conjugués.

Donc, le groupe G opère transitivement sur l'ensemble X des p-Sylow de G. L'équation aux classes montre que le cardinal de X, le nombre de p-Sylows de G divise le cardinal de G.

Considérons l'action d'un p-Sylow sur X par conjugaison :
- Le cardinal d'une orbite est un diviseur du cardinal de S. Comme ce cardinal est une puissance du nombre premier p, le cardinal d'une orbite est une puissance de p. Si elle n'est pas réduite à un singleton, son cardinal est divisible par p.
- Soit T un p-Sylow de G, fixe par l'action de S sur X. Introduisons le sous-groupe H engendré par S et T. En particulier, S et T sont des p-Sylows de H (à justifier) ; de suite, S et T sont conjugués dans H. Mais le normalisateur de T dans H contient évidemment T et par hypothèses S, donc vaut H. Donc S et T sont égaux. S est l'unique p-Sylow fixé par l'action par conjugaison de S.
- L'équation aux classes pour l'action de S sur X montre que le cardinal de X vaut 1 modulo p.

Théorème

Soient G un groupe fini, P un sous-groupe de Sylow de G, H un sous-groupe de G contenant le normalisateur N_G(P) de P dans G. Le normalisateur de H dans G est H lui-même. En particulier, N_G(P) est son propre normalisateur dans G.

Démonstration. Soit p un nombre premier tel que P soit un p-sous-groupe de Sylow de G. Soit x un élément de G normalisant H, c'est-à-dire tel que xHx^-1 = H. Il s'agit de prouver que x appartient à H. Le sous-groupe xPx^-1 de G est équipotent à P et est donc un p-sous-groupe de Sylow de G. De plus, xPx^-1 est contenu dans H (puisque P est contenu dans H et que xHx^-1 = H). Donc xPx^-1 est un p-sous-groupe de Sylow de H. Comme P est lui aussi un p-sous-groupe de Sylox de H, xPx^-1 est donc conjugué de P dans H. Il existe donc un élément h de H tel que xPx^-1 = hPh^-1. Alors h^-1xPx^-1h = P, donc h^-1x appartient à N_G(P) et, a fortiori, à H. Puisque h appartient à H, il en résulte que x appartient à H, comme annoncé.

Remarque. Ce théorème servira dans l'étude des groupes nilpotents finis.

Groupe

Produit de groupes

Sous-groupes caractéristiques

Groupe (mathématiques)/Théorèmes de Sylow

Une page de Wikiversité.

[modifier] Les p-groupes

[modifier] Premier théorème de Sylow

[modifier] Deuxième Théorème de Sylow

Affichages

Outils personnels

Rechercher

Navigation

Contribuer

Imprimer / exporter

Boîte à outils