Groupe (mathématiques)/Théorème de Jordan-Hölder

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**Théorème de Jordan-Hölder**
Leçon : Groupe

Chapitre 13
Chap. préc. :	Groupes symétriques finis
Chap. suiv. :	Produit semi-direct

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Groupe (mathématiques)/Théorème de Jordan-Hölder », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

L'objet de ce chapitre est de fournir une démonstration du théorème de Jordan-Hölder. Ce théorème n'est pas démontré dans tous les ouvrages d'introduction à la théorie des groupes ^[1] et ne servira pas dans la suite. Le lecteur appréciera donc l'intérêt que ce chapitre présente pour lui.

Définition

Soit G un groupe. On appelle suite de composition de G toute suite finie de sous-groupes $(G_{i})_{0 \leq i \leq n}$ telle que

$G = G_{0} \geq G_{1} \geq \ldots \geq G_{n} = 1$

et que, pour chaque i ( $0 \leq i \leq n-1$ ), $G i + 1$ soit distingué dans $G i$ .

Les groupes quotients $G i / G i + 1$ sont appelés les quotients de cette suite et le nombre naturel n est appelé la longueur de cette suite. On peut noter que la longueur de la suite est le nombre de ses quotients. Nous dirons que la suite est strictement décroissante si, pour tout i ( $0 \leq i \leq n-1$ ), G_i+1 est strictement contenu dans G_i.
Un groupe admet une suite de composition de longueur nulle si et seulement s'il est réduit à l'élément neutre. Tout groupe G non réduit à l'élément neutre admet une suite de composition strictement décroissante de longueur 1 (puisque 1 est distingué dans G).

Remarque. Soient G un groupe, E un ensemble fini totalement ordonné, a son premier et z son dernier élément. Soit $G_{x \in E}$ une famille de sous-groupes de G indexée par E. On peut étendre la définition qui précède en disant que la séquence $G_{x \in E}$ est une suite de Jordan-Hölder (relativement à l'ordre considéré dans E) si $G a = G$ , $G z = 1$ et que, pour tout élément x de E, si y désigne le successeur de x, $G y$ est sous-groupe distingué de $G x$ . On pourrait se ramener à la définition précédente en numérotant $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}$ les éléments de E selon l'ordre défini dans E et en posant $H_{i} = G_{x_{i}}$ , de sorte que $(G_{x})_{x \in E}$ est une suite de composition de G au nouveau sens si et seulement si $(H_{i})_{0 \leq i \leq n}$ est une suite de composition au premier sens, mais la définition étendue a l'avantage de ne pas exiger une numérotation explicite des indices, l'essentiel étant de préciser quel est le successeur d'un indice donné. Nous utiliserons ce fait dans la démonstration du théorème de Schreier.

Théorème

Soit $G = G_{0} \geq G_{1} \geq \ldots \geq G_{n} = 1$ une suite de composition d'un groupe G. L'ordre de G est égal au produit

$\prod_{0 \leq i \leq n-1} \vert G{i}/G{i+1} \vert$

des ordres des quotients de la suite.

Démonstration. Récurrence facile sur la longueur n de la suite, en notant que $\vert G \vert = \vert G/G_{1} \vert \cdot \vert G_{1} \vert$ et que $G 1$ admet la suite de composition $G_{1} \geq G_{2} \geq \ldots \geq G_{n} = 1$ .

Définition

Soient $\Sigma _{1} = (G_{i})_{0 \leq i \leq r}$ et $\Sigma _{2} = (H_{j})_{0 \leq i \leq s}$ deux suites de composition d'un même groupe G. On dit que $Σ 2$ est un raffinement de $Σ 1$ , ou encore que $Σ 2$ est plus fine que $Σ 1$ , si $Σ 1$ est extraite de $Σ 2$ , c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = j₀ < j₁ ... < j_r = s tels que $G_{i} = H_{j_{i}}$ pour tout i ( $0 \leq i \leq n-1$ ).

Notons qu'une suite extraite d'une suite de composition n'est pas forcément une suite de composition, car, comme nous l'avons vu, la relation « est un sous-groupe distingué de » n'est pas transitive.

Soit $Σ$ une suite de composition d'un groupe G. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :
a) $Σ$ est strictement décroissante et n'admet pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même;
b) les quotients de $Σ$ sont tous des groupes simples.

En effet, la condition a) revient à dire que pour tout i ( $0 \leq i \leq n-1$ ), $G_{i} \not= G_{i+1}$ et qu'il n'existe pas de sous-groupe distingué H de G_i tel que G_i+1 < H < G_i. Mais nous avons vu dans le chapitre sur les sous-groupes distingués et les groupes quotients qu'il existe une bijection $H \mapsto H/G_{i+1}$ de l'ensemble des sous-groupes distingués de G_i contenant G_i+1 sur l'ensemble des sous-groupes distingués de G_i/G_i+1. Il en résulte clairement que les conditions a) et b) sont équivalentes.

Définition

On appelle suite de Jordan-Hölder une suite de composition dont tous les quotients sont des groupes simples, ou, ce qui revient au même, une suite de composition strictement décroissante qui n'a pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même.

Théorème

Tout groupe fini admet une suite de Jordan-Hölder.

Démonstration. Tout groupe G admet au moins une suite de décomposition strictement décroissante : une suite de longueur 0 si G = 1 et la suite formée de G et de 1 dans le cas contraire. Soit G un groupe fini. Nous avons vu que pour toute suite de composition de G, le produit des ordres des quotients de la suite est égal à l'ordre de G. Si la suite est strictement décroissante, les ordres des quotients sont au moins égaux à 2, donc $\vert G \vert \geq 2^{n} > n$ , où n désigne la longueur de la suite. Donc si G est un groupe fini, il admet au moins une suite de composition strictement décroissante et l'ensemble des longueurs de ses suites de composition strictement décroissantes est borné. Parmi les suites de composition strictement décroissantes de G, on peut donc en trouver une dont la longueur est maximale. Il est clair que cette suite n'a pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même et est donc une suite de Jordan-Hölder.

Remarque. Il existe des groupes (forcément infinis d'après ce qui précède) qui n'ont pas de suites de Jordan-Hölder. Par exemple, un groupe commutatif infini n'a pas de suite de Jordan-Hölder. En effet, les quotients d'une telle suite seraient simples et commutatifs, donc seraient finis (car on a vu que les groupes simples commutatifs sont les groupes cycliques d'ordre premier), ce qui est absurde, puisque d'après un théorème ci-dessus, l'ordre de G est le produit des ordres des quotients de la suite.

Définition

Soient $(G_{i})_{0 \leq i \leq r}$ et $(H_{j})_{0 \leq i \leq s}$ deux suites de composition d'un même groupe G. On dit que ces deux suites de composition sont équivalentes si r = s et qu'il existe une permutation $σ$ de l'ensemble $\{0, 1, \ldots , r-1\}$ telle que pour tout i ( $0 \leq i \leq r-1$ ), le quotient $G i / G i + 1$ soit isomorphe au quotient $H σ(i) / H σ(i) + 1$ .

Il est clair que toute suite équivalent à une suite de Jordan-Hölder est elle-même une suite de Jordan-Hölder (car ses quotients sont tous des groupes simples).

Remarque. Si, comme indiqué plus haut, on étend la définition des suites de composition de sorte qu'elles puissent être indexées par n'importe quel ensemble fini totalement ordonné, la définition de l'équivalence de deux suites de composition se modifie comme suit. Soient G un groupe, I et J deux ensembles finis totalement ordonnés, $\ (G_{i})_{i \in I}$ et $\ (H_{j})_{j \in J}$ deux suites de composition de G. On dit que ces deux suites de composition sont équivalentes si, $\ I'$ désignant $\ I$ privé de son dernier élément, $\ J'$ désignant $\ J$ privé de son dernier élément, $\ succ_{I}(i)$ désignant pour tout $i \in I'$ le successeur de i dans I, $\ succ_{J}(j)$ désignant pour tout $j \in J'$ le successeur de j dans J, il existe une bijection $\ \sigma$ de I' sur J' telle que pour tout élément i de I, le groupe quotient $G_{i}/G_{succ_{I}(i)}$ soit isomorphe au groupe quotient $H_{\sigma(i)}/H_{succ_{J}(\sigma(i))}$ . Nous nous servirons de ceci dans la démonstration du théorème de Schreier.

Pour démontrer dans la suite que certaines suites de composition sont équivalentes, nous nous servirons du lemme suivant :

Lemme de Zassenhaus

Soient $H$ et $K$ des sous-groupes d'un groupe $G$ , $H'$ et $K'$ des sous-groupes distingués de $H$ et de $K$ respectivement. Alors

$H' (H \cap K')$ est un sous-groupe distingué de $H' (H \cap K)$

$K' (H' \cap K)$ est un sous-groupe distingué de $K' (H \cap K)$

et les groupes quotients $H' (H \cap K)/H' (H \cap K')$ et $K' (H \cap K)/K' (K \cap H')$ sont isomorphes.

Démonstration. Notons d'abord que, puisque $H'$ est distingué dans $H$ , les ensembles $H' (H \cap K')$ et $H' (H \cap K)$ sont bien des groupes (sous-groupes de H). De même, puisque $K'$ est distingué dans $K$ , les ensembles $K' (H' \cap K)$ et $K' (H \cap K)$ sont bien des groupes (sous-groupes de K).
Pour prouver la première assertion de l'énoncé, nous devons prouver que $H' (H \cap K)$ est contenu dans le normalisateur de $H' (H \cap K')$ dans G. Comme ce normalisateur est un groupe, il suffit de prouver que $H'$ et $H \cap K$ sont contenus dans le normalisateur de $H' (H \cap K')$ . Puisque $H'$ est contenu dans le sous-groupe $H' (H \cap K')$ , il est a fortiori contenu dans le normalisateur de ce sous-groupe. Quant à $H \cap K$ , il est contenu dans le normalisateur de $H'$ (puisqu'il est contenu dans H, qui est lui-même contenu dans ce normalisateur) et il est aussi contenu dans le normalisateur de $H \cap K'$ , puisque du fait que $K'$ est distingué dans $K$ , il résulte que $H \cap K'$ est distingué dans $H \cap K$ ; ainsi, tout élément de $H \cap K$ normalise à la fois $H'$ et $H \cap K'$ , donc normalise $H' (H \cap K')$ (voir par exemple un exercice sur le chapitre des sous-groupes distingués; mais la justification est immédiate dans le présent cas), ce qui revient à dire que $H' (H \cap K')$ est sous-groupe distingué de $H' (H \cap K)$ et prouve la première assertion de l'énoncé.
Vu la symétrie des hypothèses (qui restent inchangées si on permute à la fois Havec K et H' avec K'), la seconde assertion est vraie elle aussi.
Prouvons la troisième assertion de l'énoncé, à savoir

$H' (H \cap K)/H' (H \cap K') \approx K' (H \cap K)/K' (K \cap H')$ .

Posons

$L = H \cap K$

et

$N = H' (H \cap K')$ .

D'après ce qui précède, L et N sont tous deux des sous-groupes de G (et même de H). D'après le second théorème d'isomorphisme,

$(1) \qquad L/(L \cap N) \approx LN/N$ .

Dans le premier membre de (1), nous avons

$(2) \qquad L \cap N = H \cap K \cap (H'(H \cap K'))$ .

Puisque $H'(H \cap K')$ est contenu dans H, cette expressio est égale à

$K \cap (H'(H \cap K'))$ .

Tout élément x de cet ensemble est de la forme x = yz avec $x \in K, \ y \in H', \ z \in H \cap K'$ . Alors y appartient à K et donc à $H' \cap K$ . Cela montre que $K \cap (H'(H \cap K'))$ est contenu dans $(H'\cap K) (H \cap K'))$ et l'inclusion réciproque est évidente.
Donc (2) peut s'écrire

$\qquad L \cap N = (H'\cap K) (H \cap K'))$ ,

donc le premier membre de (2) est égal à

$( H \cap K )/ (H'\cap K) (H \cap K'))$ .

Dans le second membre de (1), nous avons

$(3) \qquad LN = (H \cap K) H' (H \cap K')$ .

Puisque H' est distingué dans H, on peut intervertir les deux premiers facteurs. Puisque K' est contenu dans K, (3) peut donc s'écrire

$LN = H' (H \cap K)$ .

La relation (1) peut donc s'écrire

$(H \cap K)/( (H'\cap K) (H \cap K')) \approx (H' (H \cap K))/(H' (H \cap K'))$ .

Vu la symétrie des hypothèses, on a donc aussi

$(H \cap K)/((H'\cap K) (H \cap K')) \approx (K' (H \cap K))/(K' (H' \cap K))$ .

Ainsi, $(H' (H \cap K))/(H' (H \cap K')) et (K' (H \cap K))/(K' (H' \cap K))$ sont isomorphes à un même groupe et sont donc isomorphes entre eux.

Théorème de Schreier

Soient $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$ deux suites de composition d'un même groupe G. Ces deux suites admettent des raffinements équivalents, c'est-à-dire qu'il existe deux suites de composition équivalentes $\ \Sigma'_{1}$ et $\ \Sigma'_{2}$ plus fines respectivement que $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$ .

Démonstration. Soient $\Sigma _{1} = (G_{i})_{0 \leq i \leq r}$ et $\Sigma _{2} = (H_{j})_{0 \leq i \leq s}$ . Pour tout $i \leq r-1$ et tout $j \leq s$ , posons

$G_{i,j}= G_{i+1} (H_{j} \cap G_{i}$ .

On a en particulier $G i, s = G i + 1$ (puisque H_{s} = 1) et $G i,0 = G i$ (puisque <math<H_{0} = G</math>. De plus, il résulte de la première partie du lemme de Zassenhaus que si $j+1 \leq s$ , $G i, j + 1$ est sous-groupe distingué de $G i, j$ .
Nous avons donc une suite de composition

$G = G_{0,0} \geq G_{0,1} \geq G_{0,2} \geq \ldots \geq G_{0,s-1} \geq$

$G_{1} = G_{1,0} \geq G_{1,1} \geq G_{1,2} \geq \ldots \geq G_{1,s-1} \geq$

$\ldots$

$G_{r-1} = G_{r-1,0} \geq G_{r-1,1} \geq G_{r-1,2} \geq \ldots \geq G_{r-1,s-1} \geq$

$\ 1$ .

Nous indexons cette suite par les indices doubles (i, j) tels que $0 \leq i \leq r-1$ et $0 \leq j \leq s-1$ , le dernier sous-groupe, égal à 1, étant à part des autres. (Il n'est pas nécessaire d'expliciter son indice.) Nous ne faisons pas intervenir les indices doubles (i, s), ce qui ne nous fait d'ailleurs rien perdre, puisque, comme nous l'avons noté, $G i, s = G i + 1 = G i + 1,0$ . Dans la suite de composition que nous avons construite, le sous-groupe d'indice (i, j), s'il n'est pas le dernier de la suite, est égal à $G_{i,j} = G_{i+1} (H_{j} \cap G_{i})$ et est suivi par $G_{i,j+1} = G_{i+1} (H_{j+1} \cap G_{i})$ , ceci étant vrai même si j = s – 1.

Posons de même

$H_{j,i}= H_{j+1} (G_{i} \cap H_{j}$ .

pour tout $i \leq r$ et tout $j \leq s-1$ . On a en particulier $H j, r = H j + 1$ (puisque G_{r} = 1) et $H j,0 = H j$ (puisque $H 0 = G$ ). De plus, il résulte de la première partie du lemme de Zassenhaus que si $i+1 \leq r$ , $H j, i + 1$ est sous-groupe distingué de $H j, i$ .

Nous avons ici encore une suite de composition

$G = H_{0,0} \geq H_{0,1} \geq H_{0,2} \geq \ldots \geq H_{0,r-1} \geq$

$H_{1} = H_{1,0} \geq H_{1,1} \geq H_{1,2} \geq \ldots \geq H_{1,r-1} \geq$

$\ldots$

$H_{s-1} = H_{s-1,0} \geq G_{s-1,1} \geq G_{s-1,2} \geq \ldots \geq G_{s-1,r-1} \geq$

$\ 1$ .

Nous indexons cette suite par les indices doubles (j, i) tels que $0 \leq j \leq s-1$ et $0 \leq i \leq r-1$ , le dernier sous-groupe, égal à 1, étant à part des autres. (Il n'est pas nécessaire d'expliciter son indice.) Nous ne faisons pas intervenir les indices doubles (j, r), ce qui ne nous fait d'ailleurs rien perdre, puisque, comme nous l'avons noté, $H j, r = H j + 1 = H j + 1,0$ . Dans la suite de composition que nous avons construite, le sous-groupe d'indice (j, i), s'il n'est pas le dernier de la suite, est égal à $H_{j, i} = H_{j+1} (G_{i} \cap H_{j})$ et est suivi par $H_{j, i+1} = H_{j+1} (G_{i+1} \cap H_{j})$ , ceci étant vrai même si i = r – 1.

À tout indice double $\ (i',j')$ de la suite $(G i, j)$ autre que le dernier, faisons correpondre $\ (j',i')$ , qui est un indice de la suite $(H j, i)$ , autre que le dernier. Nous définissons ainsi une bijection de l'ensemble des indices doubles de la première suite autres que le dernier sur l'ensemble des indices doubles de la seconde suite autres que le dernier. Le groupe d'indice (i, j) dans la première de ces deux suites est $G_{i,j}= G_{i+1} (H_{j} \cap G_{i})$ et le quotient de ce groupe par le groupe suivant est

$G_{i+1} (H_{j} \cap G_{i})/G_{i+1} (H_{j+1} \cap G_{i})$ .

D'autre part, le groupe d'indice (j, i) dans la seconde de ces deux suites est $H_{j,i}= H_{j+1} (G_{i} \cap H_{j})$ et le quotient de ce groupe par le groupe suivant est

$H_{j+1} (G_{i} \cap H_{j})/H_{j+1} (G_{i+1} \cap H_{j})$ .

D'après le lemme de Zassenhaus, les deux quotients considérés sont isomorphes, donc les suites de composition $(G i, j)$ et $(H j, i)$ sont équivalentes. Comme la première est un raffinement de la suite $(G i)$ et la seconde un raffinement de la suite $(H j)$ , le théorème de Schreier est démontré.

Théorème de Schreier pour les suites de composition strictement décroissantes

Soient $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$ deux suites de composition strictement décroissantes d'un même groupe G. Ces deux suites admettent des raffinements strictement décroissants équivalents, c'est-à-dire qu'il existe deux suites de composition strictement décroissantes équivalentes $\ \Sigma'_{1}$ et $\ \Sigma'_{2}$ plus fines respectivement que $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$ .

Démonstration. D'après le théorème précédent, il existe deux suites de composition équivalentes $\ \Sigma''_{1}$ et $\ \Sigma''_{2}$ plus fines respectivement que $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$ . Puisque $\ \Sigma''_{1}$ et $\ \Sigma''_{2}$ sont équivalentes, le nombre de quotients réduits à un élément est le même dans chacune des deux suites. Donc si $\ \Sigma'_{1}$ (resp. $\ \Sigma'_{2}$ ) désigne la suite de composition obtenue en supprimant les répétitions dans $\ \Sigma''_{1}$ (resp. $\ \Sigma''_{2}$ ), $\ \Sigma'_{1}$ et $\ \Sigma'_{2}$ sont deux suites de composition strictement décroissantes équivalentes. Comme $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$ sont elles-mêmes strictement décroissantes par hypothèse, et que $\ \Sigma''_{1}$ et $\ \Sigma''_{2}$ sont des raffinements de $\ \Sigma _{1}$ et de $\ \Sigma _{2}$ respectivement, il est clair que $\ \Sigma'_{1}$ et $\ \Sigma'_{2}$ sont des raffinements de $\ \Sigma _{1}$ et de $\ \Sigma _{2}$ respectivement, ce qui achève la démonstration.

Théorème de Jordan-Hölder

Deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe sont toujours équivalentes.

Démonstration. Soient $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$ deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe G. Il s'agit de prouver que ces deux suites sont équivalentes. D'après le théorème de Schreier pour les suites de composition strictement décroissantes, il existe deux suites de composition strictement décroissantes équivalentes $\ \Sigma' _{1}$ et $\ \Sigma' _{2}$ de G qui sont des raffinements de $\ \Sigma _{1}$ et de $\ \Sigma _{2}$ respectivement. Mais une suite de Jordan-Hölder est son seul raffinement strictement décroissant, donc $\ \Sigma' _{1}$ et $\ \Sigma' _{2}$ sont respectivement égales à $\ \Sigma _{1}$ et à $\ \Sigma _{2}$ . Puisque $\ \Sigma' _{1}$ et $\ \Sigma' _{2}$ sont équivalentes, $\ \Sigma _{1}$ et $\ \Sigma _{2}$ sont donc équivalentes, comme annoncé.

Théorème

Soit G un groupe admettant une suite de Jordan-Hölder. Toute suite de composition strictement décroissante de G admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder.

Démonstration. Soit $\ \Sigma$ une suite de composition strictement décroissante de G. Il s'agit de prouver que $\ \Sigma$ admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder. Par hypothèse, nous pouvons choisir une suite de Jordan-Hölder $\ \Sigma_{0}$ de G. D'après le théorème de Schreier pour les suites de composition strictement décroissantes, il existe un raffinement strictement décroissant $\ \Sigma'$ de $\ \Sigma$ et un raffinement strictement décroissant $\ \Sigma'_{0}$ de $\ \Sigma_{0}$ qui sont équivalents. Mais $\ \Sigma_{0}$ , étant une suite de Jordan-Hölder, est son seul raffinement strictement croissant, donc $\ \Sigma'_{0}$ est égale à $\ \Sigma_{0}$ et est en particulier une suite de Jordan-Hölder. Puisque $\ \Sigma'$ est équivalente à la suite de Jordan-Hölder $\ \Sigma_{0}$ , $\ \Sigma'$ est elle aussi une suite de Jordan-Hölder, ce qui prouve que $\ \Sigma$ admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder, comme annoncé.

[modifier] Notes et références

↑ Par exemple, il n'est pas démontré dans Jean Fresnel, Groupes, Paris, Hermann, 2001.

Groupe

Groupes symétriques finis

Produit semi-direct

[0] Par exemple, il n'est pas démontré dans Jean Fresnel, Groupes, Paris, Hermann, 2001.

[1]

Groupe (mathématiques)/Théorème de Jordan-Hölder

Une page de Wikiversité.

[modifier] Notes et références

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