Groupe (mathématiques)/Produit semi-direct

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**Produit semi-direct**
Leçon : Groupe

Chapitre 14
Chap. préc. :	Théorème de Jordan-Hölder
Chap. suiv. :	Commutateurs, groupe dérivé

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Groupe (mathématiques)/Produit semi-direct », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Opération d'un groupe sur un groupe par automorphismes

Nous avons vu qu'une opération d'un groupe G sur un ensemble X peut être vue soit comme une application $G \times X \rightarrow X$ (satisfaisant à certaines conditions), soit comme un homomorphisme $\ \varphi$ de G dans le groupe symétrique $\ S_{X}$ . Si l'ensemble X est lui-même muni d'une structure de groupe et que $\ \varphi$ prend ses valeurs dans le sous-groupe Aut(X) de $\ S_{X}$ , on dit que G opère sur le groupe X par automorphismes.

Une opération d'un groupe G sur un groupe H par automorphismes peut donc être vue soit comme un homomorphisme de G dans le groupe Aut(H), soit comme une opération $G \times H \rightarrow H : (g, h) \mapsto ^{g}h$ (notation exponetielle gauche) qui, outre les propriétés

$\ ^{1}h = h$ et $\ ^{(gg')}h = ^{g}(^{g'}h)$

des opérations d'un groupe sur un ensemble, possède de plus la propriété

$^{g}(h_{1}h_{2}) = \ ^{g}h_{1} \ ^{g}h_{2}$

pour tout élément g de G et tous éléments h₁ et h₂ de H.

Remarque. Nous avons noté l'opération de G sur H sous forme exponentielle, ce qui est plus agréable quand le groupe H est noté multiplicativement. Si H était noté additivement, il serait plus agréable de noter l'opération de G sur H multiplicativement.

Exemples.
1) L'opération d'un groupe G sur lui-même par conjugaison est une opération par automorphismes, à savoir par les automorphismes intérieurs. En effet, l'élément de $\ S_{G}$ correspondant à l'élément g de G est l'automorphisme intérieur $\ x \mapsto gxg^{-1}$ de G.
2) Plus généralement, si H est un sous-groupe distingué de G, tout automorphisme intérieur de G induit un automorphisme (non forcément intérieur) de H. L'application qui à tout élément g de G fait correspondre l'automorphisme $x \mapsto gxg^{-1}$ de H est un homomorphisme de G dans Aut(H), donc une opération de G sur H par automorphismes.
3) Plus généralement, si H est un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G, l'application qui à tout élément k de K fait correspondre l'automorphisme $x \mapsto gxg^{-1}$ de H est un homomorphisme de K dans Aut(H) (restriction à K de l'homomorphisme de G dans Aut(H) considéré à l'exemple précédent), donc une opération de K sur H par automorphismes.

[modifier] Produit semi-direct

Définition

Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G. On dit que G est produit semi-direct (interne) de K par H ^[1] si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

$(1) \quad H \cap K = 1,$

$(2) \quad HK = G$

Dans ce cas, tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme hk avec $h \in H$ et $k \in K$ . En effet, l'existence d'une telle écriture résulte de (2). Pour prouver l'unicité, notons que si h, h' sont des éléments de H et k, k' des éléments de K, si hk = h'k', alors $\ h'^{-1}h = k'k^{-1}$ , de sorte que les deux membres appartiennent à $\quad H \cap K$ , qui est égal à 1 d'après (1), d'où $\ h'^{-1}h = k'k^{-1} = 1,$ d'où h = h' et k = k'.

Ceci montre en particulier que G est équipotent au produit cartésien des ensembles sous-jacents de H et de K, donc

$\ \vert G \vert = \vert H \vert \cdot \vert K \vert$ .

Soient h, h' des éléments de H et k, k' des éléments de K. Nous avons

$\ (3) \quad (hk)(h'k') = h(kh'k^{-1})kk'$ .

Comme $k h' k - 1$ appartient à H (puisque H est supposé distingué dans G), il en est de même de $\ h(kh'k^{-1})$ . Donc, à partir de la décomposition de deux éléments x et y en produit d'un élément de H par un élément de K, nous trouvons la décomposition de xy.

Il résulte de (3) que l'application de G dans K qui à tout élément g de K fait correspondre l'unique élément k de K tel que g soit de la forme hk avec h dans H est un homomorphisme de G dans K. Cet homomorphisme est évidemment surjectif et son noyau est H, donc

Théorème

Si G est un groupe, H un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G tels que G soit produit semi-direct de K par H, K est isomorphe à G/H.

Puisque H est distingué dans G, nous pouvons considérer l'homomorphisme $\ \tau : k \mapsto \tau_{k}$ de K dans Aut(H) défini à l'exemple 3 ci-dessus. La relation (3) s'écrit

$\ (hk)(h'k') = h \tau _{k}(h')kk'$ .

Cela nous suggère la définition suivante :

Définition

Soient H et K deux groupes et $\ \tau$ un homomorphisme de K dans Aut(H). On appelle produit semi-direct (externe) de K par H relativement à $\ \tau$ et on note $H \times _{\tau} K$ le produit cartésien $\ H \times K$ des ensembles sous-jacents de H et de K, muni de la loi de composition interne

$( (h, k), (h', k') ) \mapsto (h \tau _{k}(h'), kk').$

Remarque. Si on note exponentiellement l'opération $\ \tau$ de K sur H, la loi de composition interne en question se définit par

$( (h, k), (h', k') ) \mapsto (h \ ^{k}h', kk').$

Théorème

Soient H et K deux groupes et $\ \tau : k \mapsto \tau_{k}$ un homomorphisme de K dans Aut(H). Le produit semi-direct $H \times _{\tau} K$ est un groupe. L'ensemble $\ H \times \{1\}$ est un sous-groupe distingué de $H \times _{\tau} K$ et l'injection canonique $h \mapsto (h, 1)$ induit un isomorphisme de H sur $\ H \times \{1\}$ . L'ensemble $\{1\} \times K$ est un sous-groupe de $H \times _{\tau} K$ et l'injection canonique $k \mapsto (1, k)$ induit un isomorphisme de K sur $\{1\} \times K$ . Le groupe $H \times _{\tau} K$ est produit semi-direct interne de $\{1\} \times K$ par $\ H \times \{1\}.$ Si h est un élément de H et k un élément de K, l'image de $τ k (h)$ par l'isomorphisme $H \rightarrow H \times \{1\}$ est $\ (1, k) (h, 1) (1, k)^{-1}.$

Démonstration. Pour alléger les expressions, nous écrirons $\ \ ^{y}x$ pour $\ \tau _{y}(x)$ (x étant un élément de H et y un élément de K).
Prouvons que la loi de composition du produit semi-direct est associative. Soient x, x' et x des éléments de H et y, y', y des éléments de K. Il s'agit de prouver que

$\ (4) \quad (\ (x, y) (x', y')\ ) \ (x'', y'') = (x, y) \ (\ (x', y') (x'', y'')\ ).$

Dans le premier membre, $\ (\ (x, y) (x', y')\ )$ est égal à $\ (x \ ^{y}x', \ yy')$ , donc le premier membre de (4) vaut $\ (x \ ^{y}x', \ yy') \ (x'', y'')$ , c'est-à-dire $(x \ ^{y}x' \ ^{yy'}x'', yy'y'').$
Dans le second membre de (4), $\ (x', y') (x'', y'')$ est égal à $\ (x' \ ^{y'}x'', y'y'')$ , donc le second membre de (4) vaut $\ (x,y) \ (x' \ ^{y'}x'', y'y'')$ , c'est-à-dire $\ (x \ ^{y}(x' \ ^{y'}x''), yy'y'')$ , où on peut remplacer $\ ^{y}(x' \ ^{y'}x'')$ par $\ ^{y}x' \ ^{yy'}x''$ , donc (4) est vraie. Nous avons donc prouvé l'associativité.
On vérifie facilement que (1, 1) est élément neutre et que tout élément (x, y) admet $\ (\ (^{y^{-1}}x)^{-1}, \ y^{-1})$ pour inverse. (Remarque : l'exponentiation à droite n'a évidemment pas le même sens que l'exponentiation à gauche.)
On laisse au lecteur de vérifier que l'ensemble $\ H \times \{1\}$ est un sous-groupe de $H \times _{\tau} K$ , que l'injection canonique $h \mapsto (h, 1)$ induit un isomorphisme de H sur $\ H \times \{1\}$ , que l'ensemble $\{1\} \times K$ est un sous-groupe de $H \times _{\tau} K$ et que l'injection canonique $k \mapsto (1, k)$ induit un isomorphisme de K sur $\{1\} \times K$ .
Le sous-groupe $\ H \times \{1\}$ de $H \times _{\tau} K$ est évidemment distingué (car un conjugué d'un élément de $\ H \times \{1\}$ a évidemment 1 pour seconde composante).
Pour le reste de l'énoncé, on se limitera à la dernière assertion. Il s'agit de prouver que, pour tout élément h de H et tout élément g de G,

$\ (5) \quad (\tau_{k}(h),1) = (1, k)\ (h, 1) \ (1, k)^{-1}$

Dans le second membre, on peut remplacer $\ (1, k)\ (h, 1)$ par $\ (^{k}h, k)$ et $\ (1, k)^{-1}$ par $\ (1, k^{-1})$ , donc le second membre de (5) est égal à $\ (^{k}h, k) \ (1, k^{-1}) = (^{k}h, 1) = (\tau_{k}(h),1).$

Remarques.
1) La dernière assertion du théorème montre que si on identifie H × {1} à H et {1} × K à K, l'opération interne de {1} × K sur H × {1} dans $H \times_{\tau} K$ (par conjugaison) s'identifie à l'opération $\ \tau$ de K sur H.
2) Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G tel que $H \cap K = 1$ et HK = G. Donc G est produit semi-direct de K par H. Désignons par $\ \tau$ l'opération de K sur H par automorphismes pour laquelle $\ ^{k}h = khk^{-1}$ pour tout h dans H et tout k dans K. De la relation (3) ci-dessus, à savoir

$\ (hk)(h'k') = h(kh'k^{-1})kk'$

pour tous éléments h et h' de H et pour tous éléments k et k' de K, on tire facilement que l'application $(h, k) \mapsto hk$ définit un isomorphisme du produit semi-direct externe $H \times _{\tau} K$ sur le produit semi-direct interne G = HK.
3) Soient H et K deux groupes, soit $\ \tau$ l'opération triviale de K sur H, c'est-à-dire l'opération pour laquelle $\ ^{k}h = h$ pour tout h dans H et tout k dans K. Alors, il résulte de la définition de $H \times _{\tau} K$ que $H \times _{\tau} K$ est identique au produit direct $H \times K$ .
4) Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G tels que G soit produit direct interne de K par H. Supposons de plus que tout élément de K commute avec tout élément de H. Alors l'opération de K sur H par automorphismes définie par $\ ^{k}h = khk^{-1}$ pour tout h dans H et tout k dans K est l'opération triviale. Donc, d'après la remarque 3), le produit semi-direct externe $H \times _{\tau} K$ est identique au produit direct externe $H \times K$ . D'après la remarque 2), l'application $(h, k) \mapsto hk$ définit un isomorphisme du produit direct externe $H \times K$ sur G. Par définition du produit direct interne, il en résulte que G est produit direct interne de H et de K. (On pourrait évidemment le démontrer sans passer par le produit semi-direct. Du fait que tout élément de K commute avec tout élément de H, on tire facilement que H normalise K, donc, puisque HK est égal à G tout entier, K est normal dans G et on est ramené à un théorème du chapitre sur le produit direct.)
5) Soient $\ \tau_{1}$ une opération d'un groupe K₁ sur un groupe H₁ par automorphismes et $\ \tau_{2}$ une opération d'un groupe K₂ sur un groupe H₂ par automorphismes. Convenons de dire que ces deux opérations sont équivalentes comme opérations par automorphismes (et non seulement comme opérations de groupes sur des ensembles) s'il existe un isomorphisme (et non seulement une application) f de H₁ sur H₂ et un isomorphisme g de K₁ sur K₂ tels que, pour tout élément x de H₁ et tout élément y de K₁, on ait

$\ f(\ ^{y}x \ ) = \ ^{g(y)}f(x).$

Alors $H_{1} \times _{\tau_{1}} K_{1}$ est isomorphe à $H_{2} \times _{\tau_{2}} K_{2}$ . Plus précisément, l'application

$\ (x, y) \mapsto (f(x), g(y))$

définit un isomorphisme de $H_{1} \times _{\tau_{1}} K_{1}$ sur $H_{2} \times _{\tau_{2}} K_{2}$ . (Vérification laissée au lecteur.)

[modifier] Notes et références

↑ Ceci est la terminologie de N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, n° 1, corollaire, Paris, 1970, p. 65. D'autres auteurs disent « produit semi-direct de H par K ». C'est le cas par exemple de J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 191.

Groupe

Théorème de Jordan-Hölder

Commutateurs, groupe dérivé

[0] Ceci est la terminologie de N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, n° 1, corollaire, Paris, 1970, p. 65. D'autres auteurs disent « produit semi-direct de H par K ». C'est le cas par exemple de J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 191.

[1]

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