Groupe (mathématiques)/Produit de groupes

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**Produit de groupes**
Leçon : Groupe

Chapitre 9
Chap. préc. :	Action de groupe
Chap. suiv. :	Théorèmes de Sylow

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Groupe (mathématiques) : Produit de groupes
Groupe (mathématiques)/Produit de groupes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sauf mention contraire, les lois de groupe seront notées multiplicativement. Quant il sera question de plusieurs groupes, il nous arrivera de désigner leurs éléments neutres par le même symbole 1, ce qui, en pratique, ne prête pas à confusion.

Sommaire

1 Produit direct de deux groupes
2 Produit direct d'une famille de groupes
3 Somme restreinte d'une famille de groupes
4 Notes et références
5 Formule du produit
6 Notes et références

[modifier] Produit direct de deux groupes

Soient $G 1$ et $G 2$ deux groupes. Désignons par $G_{1} \times G_{2}$ leur produit cartésien (ou, plus exactement, le produit cartésien de leurs ensembles sous-jacents). Il est naturel de définir sur $G_{1} \times G_{2}$ une loi de composition $\star$ composante par composante :

$(x_{1}, x_{2}) \star (y_{1}, y_{2}) = (x_{1}y_{1}, x_{2}y_{2})$ ,

le produit $x 1 y 1$ apparaissant dans le second membre étant calculé dans $G 1$ et le produit $x 2 y 2$ dans $G 2$ . On vérifie facilement que cette loi de composition munit $G_{1} \times G_{2}$ d'une structure de groupe. Ce groupe est appelé produit direct (ou simplement produit) des groupes $G 1$ et $G 2$ et noté $G_{1} \times G_{2}$ . Si $e 1$ et $e 2$ désignent respectivement les éléments neutres de $G 1$ et de $G 2$ , l'élément neutre de $G_{1} \times G_{2}$ est $(e 1, e 2)$ . Le symétrique d'un élément $(x 1, x 2)$ de $G_{1} \times G_{2}$ est l'élément $(x_{1}^{-1}, x_{2}^{-1})$ .

L'application $(g,h) \mapsto (h,g)$ définit un isomorphisme de $G \times H$ sur $H \times G$ (« commutativité » du produit direct) et l'application $((g,h), k) \mapsto (g,(h,k)$ définit un isomorphisme de $(G \times H)\times K)$ sur $G \times (H\times K)$ (« associativité » du produit direct).

[modifier] Produit direct d'une famille de groupes

La définition qui précède se généralise comme suit à une famille quelconque de groupes.

Soit $(G_{i})_{i \in I}$ une famille (finie ou infinie) de groupes.

On appelle groupe produit de cette famille, ou produit de cette famille, ou produit direct de cette famille, et on note $\prod _{i \in I} G_{i}$ le produit cartésien de la famille des (ensembles sous-jacents des) $G i$ , muni de la loi de composition composante par composante :

$(x_{i})_{i \in I} \star (y_{i})_{i \in I} = (x_{i}y_{i})_{i \in I}$ ,

où, pour chaque i, le produit $x i y i$ est calculé dans $G i$ .

Il est clair que cette loi de composition est bien une loi de groupe.

[modifier] Somme restreinte d'une famille de groupes

Dans le produit direct $\prod _{i \in I} G_{i}$ , considérons les éléments $(x_{i})_{i \in I}$ possédant la propriété suivante : l'ensemble des éléments i de I tels que $x_{i} \not= 1$ (où 1 désigne le neutre de $G i$ ) est fini. Ces éléments, appelés familles de support fini, forment un sous-groupe de $\prod _{i \in I} G_{i}$ , appelé somme restreinte de la famille $(G_{i})_{i \in I}$ et noté $\sum _{i \in I}G_{i}$ . Si les groupes G_i sont commutatifs, on dit somme directe au lieu de somme restreinte^[1].

Si l'ensemble I est fini, la somme restreinte et le produit coïncident. Dans la suite de ce chapitre, nous ne nous intéresserons plus au produit, mais seulement à la somme restreinte d'une famille de groupes.

Soient $(G_{i})_{i \in I}$ une famille de groupes et S sa somme restreinte. Pour chaque élément i de I, désignons par $\varphi_{i}$ l'application de $G i$ dans S qui à l'élément x de $G i$ fait correspondre la famille dont la i-ème valeur est x et les autres valeurs 1. Nous définissons ainsi un homomorphisme injectif $\varphi_{i}$ de $G i$ dans S. Cet homomorphisme est appelé i-ème inclusion canonique de $G i$ dans S. L'image $\varphi_{i}(G_{i})$ de $G i$ par $\varphi_{i}$ est isomorphe à $G i$ et on l'identifie souvent à $G i$ , disant par exemple que $G i$ est un sous-groupe de S. Pour la clarté de ce premier exposé, nous éviterons cet abus de langage.

On vérifie facilement que les sous-groupes $\varphi_{i}(G_{i})$ de S sont distingués et qu'ils ont deux à deux des intersections réduites à l'élément neutre de S.

Soient i et j deux éléments distincts de I. Tout élément de $\varphi_{i}(G_{i})$ commute avec tout élément de $\varphi_{j}(G_{j})$ . En effet, les produits $\varphi_{i}(x) \varphi_{j}(y)$ et $\varphi_{j}(y) \varphi_{i}(x)$ sont tous deux égaux à la famille dont la i-ème composante est x, la j-ème composante y et dont les autres composantes sont égales à 1. (L'hypothèse $i \not= j$ est essentielle dans le cas où les $G i$ ne sont pas supposés commutatifs.)

De façon générale, si G est un groupe, si $(g_{i})_{i \in J}$ est une famille finie d'éléments de G qui commutent deux à deux, on peut définir le produit de cette famille d'éléments de G sans se préoccuper d'un ordre dans l'ensemble J, car, vu la commutativité, le produit est indépendant de l'ordre choisi. Il est clair qu'on peut de même définir le produit d'une famille $(g_{i})_{i \in J}$ même infinie d'éléments de G qui commutent deux à deux si l'ensemble des i tels que $g_{i} \not= 1$ est fini. Avec cette définition, tout élément $x i$ de S est le produit de la famille $(\varphi_{i}(x_{i}))_{i}$ d'éléments de S.

Ceci nous suggère la définition suivante :

Soient G un groupe et $(G_{i})_{i \in I}$ une famille (finie ou infinie) de sous-groupes de G. On dit que G est somme restreinte interne (ou, abusivement, somme restreinte sans plus) si pour tous éléments distincts i et j de I, chaque élément de

G i

commute avec chaque élément de

G j

et si l'application (en fait homomorphisme) de $\sum _{i \in I} G_{i}$ dans G qui envoie $(x_{i})_{i \in I}$ sur $\prod _{i \in I}x_{i}$ (correctement défini d'après les remarques qui précèdent) est une bijection, et donc un isomorphisme. On appelle cet isomorphisme l'isomorphisme canonique de $\sum _{i \in I} G_{i}$ sur G. L'isomorphisme réciproque est appelé isomorphisme canonique de G sur $\sum _{i \in I} G_{i}$ .

Il revient au même de dire que pour tous éléments distincts i et j de I, chaque élément de $G i$ commute avec chaque élément de $G j$ et que tout élément de G peut s'écrire d'une et une seule façon $\prod _{i \in I}x_{i}$ , la famille $(x i) i$ étant une famille de support fini telle que $x_{i} \in G_{i}$ pour tout i^[2].

Il revient encore au même de dire que pour tous éléments distincts i et j de I, chaque élément de $G i$ commute avec chaque élément de $G j$ , que les $G i$ engendrent G et que si $(x i) i$ est une famille de support fini telle que $x_{i} \in G_{i}$ pour tout i, si $\prod _{i \in I}x_{i} = 1$ , alors $x i = 1$ pour tout i.

On vérifie facilement que $\sum _{i \in I} G_{i}$ est somme restreinte interne de la famille $(\varphi_{i}(G_{i}))_{i}$ .

Si l'ensemble I est fini, on remplace souvent l'expression « somme restreinte interne » par « produit direct interne », ou « produit direct », ou « produit ». Plutôt que de dire qu'un groupe est produit direct d'un couple (H, K) de ses sous-groupes, on préfère dire qu'il est produit direct de H et de K, etc.

Il nous arrivera d'appeler « somme restreinte externe » la somme restreinte proprement dite, pour la distinguer de la somme restreinte interne.

Soit G un groupe, somme restreinte interne d'une famille $(G_{i})_{i \in I}$ de sous-groupes. Pour tout élément j de I, on appelle j-ième projection de G sur G_j (relativement à la famille $(G_{i})_{i \in I}$ ) l'application de G dans G_j qui, pour tout élément x de G, applique x sur l'élément x_j de G_j apparaissant dans l'unique expression de x sous la forme $\prod_{i \in I}x_{i}$ avec $x_{i} \in G_{i}$ pour chaque i. Il est clair que cette projection est un homomorphisme de G sur G_j. Elle est d'ailleurs égale au composé $\mathrm{pr}_{j} \circ \sigma,$ où $\ \sigma$ désigne l'isomorphisme canonique de G sur $\sum _{i \in I} G_{i}$ et $pr j$ l'homomorphisme $(x_{i})_{i \in I} \mapsto x_{j}$ de $\sum _{i \in I} G_{i}$ (somme restreinte externe) sur G_j.

« Commutativité » de la somme restreinte interne.

Soient G un groupe, $(H_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G et $σ$ une permutation de l'index I. Si G est somme restreinte interne de la famille $(H_{i})_{i\in I}$ , il est somme restreinte interne de la famille $(H_{\sigma(i)})_{i\in I}$ .

Démonstration. Pour tous éléments distincts i, j de I, tout élément de H_i commute avec tout élément de H_j; il en résulte clairement que, pour tous éléments distincts i, j de I, tout élément de H_σ(i) commute avec tout élément de H_σ(j). Le sous-groupe de G engendré par les H_i est G tout entier; il en résulte clairement que le sous-groupe engendré par les H_σ(i) est G tout entier. Enfin, si J est une partie finie de I, si $(x_{j})_{j\in J}$ est une famille telle que pour tout élément j de J, x_j appartienne à H_j, si $\prod _{j \in J}x_{j} = 1$ , alors chaque x_j est égal à 1; il en résulte clairement que si K est une partie finie de I, si $(y_{k})_{k\in K}$ est une famille telle que pour tout élément k de K, y_k appartienne à H_σ(k), si $\prod _{k \in K}y_{k} = 1$ , alors chaque y_k est égal à 1 (poser J = σ(K) et considérer la famille $(y_{\sigma^{-1}(j)})_{j \in J}$ , en notant que, pour chaque j dans J, $y_{\sigma^{-1}(j)}$ appartient à H_j).

Théorème

Soient $(G_{i})_{i \in I}$ une famille de groupes et $(H_{i})_{i \in I}$ une famille telle que, pour tout i, H_i soit un sous-groupe de G_i. Alors la somme restreint externe H des H_i est un sous-groupe de la somme restreinte externe G des G_i.

Démonstration facile, laissée au lecteur.

Théorème

Soient G un groupe, $\ (G_{i})_{i \in I}$ une famille de sous-groupes de G dont G est somme restreinte interne, J une partie de I, $\ (H_{j})_{j \in J}$ une famille telle que, pour tout élément j de J, H_j soit un sous-groupe de G_j. Le sous-groupe de G engendré par les H_j est somme restreinte interne des H_j, j parcourant J.

Démonstration. Si j et k sont deux éléments distincts de J, tout élément de H_j est un élément de G_j et tout élément de H_k est un élément de G_k, donc tout élément de H_j commute avec tout élément de H_k. Si j₁, ... , j_r sont des éléments de J deux à deux distincts, si x₁ ... x_r = 1 avec $x_{1} \in H_{j_{1}}, \ldots , x_{r} \in H_{j_{r}},$ alors j₁, ... , j_r sont des éléments de I deux à deux distincts et x₁ ... x_r = 1 avec $x_{1} \in G_{j_{1}}, \ldots , x_{r} \in G_{j_{r}},$ donc x₁ = ... = x_r = 1.

« Associativité » de la somme restreinte interne.

Soient G un groupe et $(H_{i})_{i \in I}$ une famille de sous-groupes de G, soit $(J_{k})_{k \in K}$ une famille de parties de I deux à deux disjointes de I dont la réunion est I. Pour chaque élément k de K, soit L_k le sous-groupe de G engendré par les H_i où i parcourt J_k. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :
1° G est somme restreinte interne de la famille $(H_{i})_{i \in I}$ ;
2° G est somme restreinte interne de la famille $(L_{k})_{k \in K}$ et, pour chaque élément k de K, L_k est somme restreinte interne de la famille $(H_{i})_{i \in J_{k}}$ .

Démonstration laissée au lecteur.

Exemple. Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. On suppose que H est produit direct interne d'une famille de sous-groupes H₁, ..., H_n et que <H, K> (sous-groupe de G engendré par H et K) est produit direct interne de H et de K. Alors <H, K> est produit direct interne de la famille H₁, ..., H_n, K.

Définition

On dit qu'un sous-groupe H d'un groupe G est facteur direct^[3] de G s'il existe un sous-groupe K de G tel que G soit le produit direct (interne) H × K de H et K.

D'après la «commutativité» et l' «associativité» de la somme restreinte, il est clair que si un groupe G est somme restreinte d'une famille (H_i)_i de sous-groupes, chaque H_i est facteur direct de G.

Théorème

Tout sous-groupe distingué d'un facteur direct d'un groupe G est sous-groupe distingué de G.

Démonstration. Soient H un facteur direct de G et N un sous-groupe distingué de H. Il s'agit de prouver que N est distingué dans G. Puisque H est facteur direct de G, il existe un sous-groupe K de G tel que G soit le produit direct H × K de H et K. Alors tout élément de K commute avec tout élément de H. En particulier, tout élément de K commute avec tout élément de N, donc K normalise N. D'autre part, puisque N est sous-groupe normal de H, H normalise N. Ainsi, H et K normalisent tous deux N. Puisque G est engendré par H et K, N est donc distingué dans G.

Propriété universelle de la somme restreinte externe.

Soient $(G_{i})_{i \in I}$ une famille de groupes, G sa somme restreinte externe, K un groupe et $(f_{i} : G_{i} \rightarrow K)_{i \in I}$ une famille d'homomorphismes de groupes, telle que, pour tous éléments distincts i, j de I, tout élément de $f i (G i)$ commute avec tout élément de $f j (G j)$ . Il existe un et un seul homomorphisme f de G dans K tel que, pour tout élément i de I, $f \circ incl_{i, G_{i}, G} = f_{i}$ , où $incl_{i, G_{i}, G}$ désigne la i-ème inclusion canonique de G_i dans G. Cet homomorphisme f applique la famille $(x_{i})_{i \in I}$ sur $\prod _{i \in I}f_{i}(x_{i})$ .

Démonstration. Laissée au lecteur. (On utilisera le fait suivant, démontré au chapitre Lois de composition internes, monoïdes : soient M un monoïde et x₁, ... , x_n, y₁, ... , y_n des éléments de M. Si, pour tous indices distincts i, j, x_i commute avec y_j, alors

x₁ ... x_n y₁ ... y_n = x₁ y₁ ... x_n y_n.)

Propriété universelle de la somme restreinte interne.

Soient G un groupe, somme restreinte interne d'une famille $(G_{i})_{i \in I}$ de ses sous-groupes, K un groupe et $(f_{i} : G_{i} \rightarrow K)_{i \in I}$ une famille d'homomorphismes de groupes, telle que, pour tous éléments distincts i, j de I, tout élément de $f i (G i)$ commute avec tout élément de $f j (G j)$ . Il existe un et un seul homomorphisme f de G dans K tel que, pour tout élément i de I, f coïncide avec f_i. Si $(x_{i})_{i \in I}$ est une famille telle que pour chaque i, x_i appartienne à G_i, f applique $\prod _{i \in I}x_{i}$ sur $\prod _{i \in I}f_{i}(x_{i})$ .

Démonstration. D'après le théorème précédent, il existe un et un seul homomorphisme g de la somme restreinte externe S des G_i dans K qui applique la famille $(x_{i})_{i \in I}$ sur $\prod _{i \in I}f_{i}(x_{i})$ . D'autre part, puisque G est somme restreinte interne des G_i, il existe un et un seul isomorphisme $\ \varphi$ de G sur S (à savoir l'isomorphisme canonique considéré plus haut) qui, pour toute famille $(x_{i})_{i \in I}$ , avec $x_{i} \in G_{i}$ pour tout i, applique $\prod _{i \in I}x_{i}$ sur $(x_{i})_{i \in I}$ . Il est clair que $\ g \circ \varphi$ convient pour f. L'unicité de f résulte de ce que les G_i engendrent G. Elle peut aussi se déduire de l'unicité de g : si f₁ et f₂ sont tous deux tels que le f de l'énoncé, alors $f_{1} \circ \varphi^{-1}$ et $f_{2} \circ \varphi^{-1}$ satisfont tous deux aux conditions qui définissent g, donc sont égaux, donc f₁ et f₂ sont égaux.

Théorème.

Soient $(G_{i})_{i \in I}$ et $(H_{i})_{i \in I}$ deux familles de groupes et $(g_{i} : G_{i} \rightarrow H_{i})_{i \in I}$ une famille d'homomorphismes de groupes. Si G (resp. H) désigne la somme restreinte externe des G_i (resp. des H_i), alors l'application $g : (x_{i})_{i \in I} \mapsto ( g_{i}(x_{i}) )_{i \in I}$ est un homomorphisme de G dans H. Si chaque g_i est un isomorphisme de G_i sur H_i, g est un isomorphisme de G sur H.

Démonstration. Dans le théorème précédent, prendre pour K la somme restreinte externe H des H_i et poser $f_{i} = incl_{i, H_{i}, H} \circ g_{i}$ , où $incl_{i, H_{i}, H}$ désigne la i-ème inclusion canonique de H_i dans H = K. On démontre ainsi la première assertion de l'énoncé. On démontre facilement la seconde assertion en appliquant la première aux isomorphismes réciproques. On peut évidemment démontrer ce théorème sans utiliser le précédent.

Corollaire.

Soient $(G_{i})_{i \in I}$ et $(H_{i})_{i \in I}$ deux familles de groupes. Si, pour tout i, G_i est isomorphe à H_i, la somme restreinte externe des G_i est isomorphe à la somme restreinte externe des H_i.

Démonstration. Pour tout i, il existe un isomorphisme de G_i sur H_i. D'après l'axiome du choix, il existe donc une famille $(g_{i} : G_{i} \rightarrow H_{i})_{i \in I}$ d'homomorphismes de groupes et la thèse résulte du théorème qui précède.

Théorème

Soient $(G_{i})_{i \in I}$ une famille de groupes et $(H_{i})_{i \in I}$ une famille telle que, pour tout i, H_i soit un sous-groupe distingué de G_i. Alors
1° la somme restreinte externe H des H_i est un sous-groupe distingué de la somme restreinte externe G des G_i;
2° le quotient G/H est isomorphe à la somme restreinte externe des quotients G_i/H_i.

Démonstration. Le lecteur prouvera facilement le point 1°. Désignons par Q la somme restreinte externe des groupes quotients G_i/H_i. Pour tout élément $(x_{i})_{i \in I}$ de G, la famille $(x_{i}H_{i})_{i \in I}$ est de support fini et appartient donc à Q. Considérons l'application f de G dans Q qui à tout élément $(x_{i})_{i \in I}$ de G fait correspondre l'élément $(x_{i}H_{i})_{i \in I}$ de Q. Il est clair que f est un homomorphisme surjectif dont le noyau est H, donc f induit un isomorphisme de G/H sur Q, ce qui démontre le point 2°.

Voici une version interne de ce théorème :

Théorème

Soient G un groupe, $(G_{i})_{i \in I}$ une famille de sous-groupes de G dont G est somme restreinte interne et $(H_{i})_{i \in I}$ une famille telle que, pour tout i, H_i soit un sous-groupe distingué de G_i. Alors
1° le sous-groupe H de G engendré par les H_i est somme restreinte interne des H_i et est un sous-groupe distingué de G;
2° le quotient G/H est isomorphe à la somme restreinte externe des quotients G_i/H_i.

Démonstration. Le point 1° est un cas particulier d'un théorème démontré plus haut. Pour démontrer le point 2°, désignons par S_G la somme restreinte externe des G_i et par S_H la somme restreinte externe des H_i. L'isomorphisme $(x_{i})_{i \in I} \mapsto \prod _{i \in I}x_{i}$ de S_G sur G applique S_H sur H et induit donc un isomorphisme de S_G/S_H sur G/H. D'après le théorème précédent, S_G/S_H est isomorphe à la somme restreinte externe des quotients G_i/H_i donc G/H l'est aussi, ce qui démontre le point 2°.

Corollaire

Soient $\ G$ un groupe, $(G_{i})_{i \in I}$ une famille de sous-groupes de $\ G$ dont $\ G$ est somme restreinte interne, $\ J$ et $\ K$ deux parties de $\ I$ formant une partition de $\ I, L_{J}$ le sous-groupe de $\ G$ engendré par les sous-groupes $\ G_{j}$ où j parcourt $\ J$ , et $\ L_{K}$ le sous-groupe de $\ G$ engendré par les sous-groupes $\ G_{k}$ où k parcourt $\ K$ . (Donc $\ L_{J}$ est somme restreinte interne des $\ G_{j}$ où j parcourt $\ J$ , et $\ L_{K}$ est somme restreinte interne des $\ G_{k}$ où k parcourt $\ K$ .) Alors $\ L_{J}$ est sous-groupe distingué de $\ G$ et le groupe quotient $\ G/L_{J}$ est isomorphe à $\ L_{K}$ . En particulier, si un groupe G est produit direct interne de deux sous-groupes G₁ et G₂, le groupe quotient G/G₁ est isomorphe à G₂.

Démonstration. Pour tout élément i de I, posons $\ H_{i} = G_{i}$ si i appartient à J et $\ H_{i} = 1$ si i appartient à K. Pour tout i dans $\ I$ , $\ H_{i}$ est distingué dans $\ G_{i}$ , donc, d'après le théorème précédent, le sous-groupe H de G engendré par les $\ H_{i}$ , i parcourant $\ I$ , est distingué dans G et G/H est isomorphe à la somme restreinte externe des $\ G_{i}/H_{i}$ , i parcourant $\ I$ . Il est clair que H est égal à $\ L_{J}$ , donc

(1) $\ G/L_{J}$ est isomorphe à la somme restreinte externe des $\ G_{i}/H_{i}$ , i parcourant I.

Dans la somme restreinte externe des $\ G_{i}/H_{i}$ , les facteurs correspondant aux indices appartenant à J sont réduits à l'élément neutre, donc

(2) la somme restreinte externe des $\ G_{i}/H_{i}$ , i parcourant I, est isomorphe à la somme restreinte externe des $\ G_{k}/H_{k}$ , où k parcourt K.

Pour un élément k de K, $\ G_{k}/H_{k}$ est isomorphe à $\ G_{k}$ , donc la somme restreinte externe des $\ G_{k}/H_{k}$ , où k parcourt K, est isomorphe à la somme restreinte externe des $\ G_{k}$ , où k parcourt K, et est donc isomorphe à $\ L_{K}$ . Il résulte donc de (2) que la somme restreinte externe des $\ G_{i}/H_{i}$ , i parcourant I, est isomorphe à $\ L_{K}$ . D'après (1), $\ G/L_{J}$ est donc isomorphe à $\ L_{K}$ . Le cas particulier s'en déduit immédiatement.
Remarque. Il y a évidemment plusieurs démonstrations possibles. On pourrait commencer par démontrer le cas particulier (en notant que si un groupe G est produit direct interne de deux sous-groupes G₁ et G₂, la seconde projection associée à cette décomposition est un homomorphisme surjectif de G sur G₂ admettant G₁ pour noyau) et passer au cas général en notant que d'après l' «associativité» de la somme restreinte interne, G est somme restreinte interne de $\ L_{J}$ et de $\ L_{K}$ .

Proposition ^[4]

Soient G un groupe, H₁, H₂, ... , H_ndes sous-groupes distingués de G tels que (H₁ H₂ ... H_i-1) ⋂ H_i= 1 pour tout i (2 ≤ i ≤ n). Le sous-groupe H₁ H₂ ... H_n de G est produit direct interne de H₁, ..., H_n.

Démonstration. Il suffit de le démontrer dans le cas où n = 2, l' « associativité » du produit direct interne permettant alors une démonstration par récurrence sur n. Soient donc H₁ et H₂ des sous-groupes distingués de G tels que H₁ ⋂ H₂ = 1. Il s'agit de prouver que H₁ H₂ est produit direct interne de H₁ et H₂. Montrons que tout élément de H₁ commute avec tout élément de H₂. Soient a un élément de H₁ et b un élément de H₂; il s'agit de prouver que a commute avec b. Il revient clairement au même de prouver que l'élément aba_-1b_-1 de G est égal à 1. Puisque H₁ est distingué dans G, ba^-1b^-1 appartient à H₁, donc aba^-1b^-1 appartient à H₁ (comme produit des deux éléments a et ba^-1b^-1 de H₁H₂). D'autre part, puisque H₂ est distingué dans G, aba^-1 appartient à H₂, donc aba^-1b^-1 appartient à H₂ (comme produit des deux éléments aba^-1 et b^-1 de H₂). Ainsi, aba^-1b^-1 appartient à H₁ et à H₂. Puisque, par hypothèse, H₁ ⋂ H₂ = 1, aba^-1b^-1 est donc égal à 1, ce qui, comme nous l'avons vu, prouve que tout élément de H₁ commute avec tout élément de H₂. D'autre part, l'hypothèse H₁ ⋂ H₂ = 1 entraîne que l'écriture h₁h₂ d'un élément de H₁H₂ avec h₁ dans H₁ et h₂ dans H₁, est unique : en effet, si h'₁h'₂ = h₁h₂, avec h'₁ dans H₁ et h'₂ dans H₁, alors h₁^-1h'1 = h₂h'₂^-1. Comme le premier membre appartient à H₁ et le second membre à H₂, h₁^-1h'₁ et h₂h'₂^-1 appartiennent « tous deux » à H₁ ⋂ H₂ = 1, donc h'₁ = h₁ et h'₂ = h₂. Nous avons donc prouvé que tout élément de H commute avec tout élément de K et que tout élément de HK peut s'écrire d'une et une seule façon comme produit d'un élément de H par un élément de K, donc HK est produit direct interne de H et de K.

Corollaire

Soient G un groupe fini, H₁, H₂, ... , H_n des sous-groupes distingués de G dont les ordres sont premiers entre eux deux à deux. Le sous-groupe H₁ H₂ ... H_n de G est produit direct interne de H₁, H₂, ... , H_n. Si l'ordre de G est égal au produit des ordres des H_i, G est produit direct interne des H_i.

Démonstration. Prouvons que H₁ H₂ ... H_n est produit direct interne de H₁, H₂, ... , H_n. D'après le théorème qui précède, il suffit de prouver que (H₁ H₂ ... H_i-1) ⋂ H_i= 1 pour tout i (2 ≤ i ≤ n) et pour cela, il suffit de prouver que l'ordre de H_i est premier avec celui de H₁ H₂ ... H_i-1. (Deux sous-groupes finis d'ordres premiers entre eux ont une intersection réduite à l'élément neutre, car l'ordre d'un élément commun à ces sous-groupes divise l'ordre de chacun de ces sous-groupes et est donc égal à 1.) On peut par exemple raisonner par récurrence sur n. Par hypothèse de récurrence, H₁ H₂ ... H_i-1 est produit direct interne de H₁, H₂, ... et H_i-1, donc son ordre est le produit des ordres de H₁, H₂, ... et H_i-1, donc est premier avec l'ordre de H_i. Nous avons donc démontré la première assertion de l'énoncé. Il en résulte que l'ordre de H₁ H₂ ... H_n est égal au produit des ordres des H_i. Si l'ordre de G est supposé égal au produit des ordres des H_i, on a donc G = H₁ H₂ ... H_n et G est le produit direct interne des H_i, ce qui prouve la seconde assertion de l'énoncé.

Remarques.
1) Le corollaire qui précède nous servira dans l'étude des groupes nilpotents finis.
2) Dans la démonstration de ce corollaire, on aurait pu éviter le raisonnement par récurrence en utilisant le fait que si G est un groupe et K₁, K₂, ... , K_n des sous-groupes distingués finis de G, l'odre de K₁ K₂ ... K_n divise le produit des ordres des K_i. (Voir « formule du produit » ci-dessous.)

Exemple. Soient G un groupe commutatif (dont tous les sous-groupes sont donc distingués), H et K deux sous-groupes de G. D'après ce qui précède, G est produit direct (interne) de H et de K si et seulement tout élément de G peut s'écrire d'une et une seule façon sous la forme hk, h appartenant à H et k à K. On vérifie facilement que la condition d'existence équivaut à G = HK et la condition d'unicité à H ⋂ K = 1.
Soient a et b deux nombres naturels > 0 et premiers entre eux. Prenons pour G un groupe cyclique d'ordre ab. On sait que G admet un unique sous-groupe H d'ordre a (formé par les b-ièmes puissances) et un unique sous-groupe K d'ordre b (formé par les a-ièmes puissances). D'après le corollaire qui précède, G est produit direct interne de H et de K. Ceci montre que si a et b sont des nombres naturels > 0 premiers entre eux, « le » groupe cyclique d'ordre ab est produit direct interne de son sous-groupe d'ordre a et de son sous-groupe d'ordre b.

Proposition

Soient G₁, ... , G_n des groupes et, pour tout i, x_i un élément d'ordre fini de G_i; l'ordre de (x₁, ... , x_n) dans le produit des G_i est le ppcm des ordres des x_i.
Soient H₁, ... , H_n des sous-groupes d'un groupe H, tels que H soit la somme restreinte (interne) $H = H_{1} \oplus \ldots \oplus H_{n},$ et, pour tout i, soit x_i un élément d'ordre fini de G_i; l'ordre de x₁ ... x_n est le ppcm des ordres des x_i.
Si (K₁, ... K_n) est une famille finie de groupes cycliques dont les ordres sont premiers entre eux deux à deux, la somme directe (interne ou externe) de cette famille est un groupe cyclique. Si (G₁, ... G_n) est une famille finie de groupes finis (non forcément cycliques) dont les ordres ne sont pas premiers entre eux deux à deux, la somme directe (interne ou externe) de cette famille n'est pas un groupe cyclique.

Démonstration. On prouvera seulement que si G₁, ... G_n sont des groupes finis dont les ordres ne sont pas premiers entre eux deux à deux, la somme directe des G_i n'est pas un groupe cyclique, le reste étant laissé au lecteur. Supposons d'abord n = 2. Il s'agit de prouver que si G₁ est un groupe fini d'ordre n₁ et G₂ un groupe fini d'ordre n₂, si n₁ et n₂ ne sont pas premiers entre eux, alors la somme directe de G₁ et de G₂ n'est pas un groupe cyclique. Soit (a, b) un élément de cette somme directe. D'après la première partie de l'énoncé, l'ordre de (a, b) est égal au ppcm des ordres de a et de b. Comme l'ordre de a divise n₁ et que l'ordre de b divise n₂, le ppcm de n₁ et de n₂ est un multiple commun de l'ordre de a et de l'ordre de b, donc est multiple du ppcm des ordres de a et de b. Ainsi, l'ordre de (a, b) divise le ppcm de n₁ et de n₂. Puisque n₁ et n₂ ne sont pas premiers entre eux, leur ppcm est strictement plus petit que leur produit. Donc aucun élément (a, b) de la somme directe de G₁ et de G₂ n'a un odre égal à l'ordre n₁ n₂ de cette somme directe, donc cette somme directe n'est pas cyclique. Notre thèse est donc prouvée dans le cas n = 2. Dans le cas général, il existe deux indices distincts j et k tels que les ordres de G_j et de G_k ne soient pas premiers entre eux. D'après la première partie de la démonstration, la somme directe de G_j et de G_k n'est pas cyclique, donc la somme directe de G₁, ... , G_n contient un sous-groupe non cyclique et n'est donc elle-même pas cyclique.

[modifier] Notes et références

↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, n° 9, Paris, 1970, p. 46.
↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, $n o s$ 8 et 9; Paris, 1970, pp. 43-46.
↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. I, § 4; Paris, 1970, p. 45.
↑ N. Bourbaki, Algèbre, I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, ch. 1, § 4, n° 9, prop. 15, p. 46.

[modifier] Formule du produit

Même quand deux sous-groupes ne forment pas un produit direct, on a une utile formule de dénombrement :

Formule du produit ^[1]

Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. On a

$\vert HK \vert \cdot \vert H \cap K \vert = \vert H \vert \cdot \vert K \vert$

(où la partie HK de G n'est pas forcément un sous-groupe de G).

Démonstration. Soit f l'application $(x, y) \mapsto xy$ de H × K dans HK. Prouvons que pour tout élément z de HK, il y a exactement $\vert H \cap K \vert$ éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z. Puisque z appartient à HK, il existe a dans H et b dans K tels que z = ab. Prouvons que les éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z sont les éléments de la forme (ad, d^-1b), où d parcourt $H \cap K$ . Si (x, y) est tel que f(x, y) = z, alors xy = ab, d'où a^-1x = by^-1. Si nous désignons par s la valeur commune de a^-1x et de by^-1, il est clair que d appartient à $H \cap K$ et que x = ad, y = d^-1b. Nous avons donc prouvé que tout élément (x, y) de H × K tel que f(x, y) = z est un élément de la forme (ad, d^-1b), où d appartient $H \cap K$ . Réciproquement, si d appartient à $H \cap K$ , il est clair que (a, d) est un élément de H × K et que f(ad, d^-1b) = ab = z. Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que les éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z sont les éléments de la forme (ad, d^-1b), où d parcourt $H \cap K$ . Il est clair que si d et d' sont deux éléments distincts de $H \cap K$ , les deux éléments (ad, d^-1b) et (ad', d'^-1b) de H × K sont distincts, donc les éléments de H × K de la forme (ad, d^-1b), où d parcourt $H \cap K$ , sont en quantité $\vert H \cap K \vert$ . Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que pour tout élément z de HK, il y a exactement $\vert H \cap K \vert$ éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z. La formule du produit résulte donc du principe des bergers.

Corollaire

Soient G un groupe, H₁, ... , H_n des sous-groupes distingués de G. L'ordre du sous-groupe H₁ ... H_n de G divise le produit des ordres des H_i (1 ≤ i).

Démonstration. Récurrence facile sur n, compte tenu de la formule du produit et du fait que, les H_i étant des sous-groupes distingués de G, chaque ensemble H₁ ... H_i est un sous-groupe de G.

[modifier] Notes et références

↑ J.J. Rotman, An introduction to the theory of groups, 4^e éd., tirage de 1999, p. 30.

Groupe

action de groupe

Théorèmes de Sylow

[0] N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, n° 9, Paris, 1970, p. 46.

[1] N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, $n o s$ 8 et 9; Paris, 1970, pp. 43-46.

[2] N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. I, § 4; Paris, 1970, p. 45.

[3] N. Bourbaki, Algèbre, I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, ch. 1, § 4, n° 9, prop. 15, p. 46.

[4] J.J. Rotman, An introduction to the theory of groups, 4^e éd., tirage de 1999, p. 30.

[1]

[2]

[3]

[4]

[1]

Groupe (mathématiques)/Produit de groupes

Une page de Wikiversité.

Sommaire

[modifier] Produit direct de deux groupes

[modifier] Produit direct d'une famille de groupes

[modifier] Somme restreinte d'une famille de groupes

[modifier] Notes et références

[modifier] Formule du produit

[modifier] Notes et références

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