Groupe (mathématiques)/Premiers résultats sur les groupes simples

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Sommaire 1 Introduction 2 Utilisation des opérations d'un groupe sur certains ensembles 3 Utilisation des théorèmes de Sylow 4 Notes et références

[modifier] Introduction

On va donner ici quelques théorèmes sur les groupes simples, qui permettent notamment de prouver que tout groupe simple non commutatif d'ordre < 168 est isomorphe à A₅. Les résultats que nous obtiendrons sont cependant assez faibles, comparés à cette conséquence de théorèmes de Burnside et de Feit et Thompson : l'ordre d'un groupe simple fini non commutatif admet au moins trois facteurs premiers distincts et est divisible par 8 ou par 12^[1]. Ce chapitre est donc à considérer comme matière à exercices plutôt que comme un élément important de la théorie.

Commençons par une remarque banale :

Théorème 0

Soit G un groupe simple non commutatif (autrement dit un groupe simple, fini ou infini, dont l'ordre n'est pas un nombre premier). Le centre de G est réduit à l'élément neutre et le dérivé de G est G tout entier.

Démonstration. Le centre Z(G) de G est un sous-groupe distingué de G. Puisque G est simple, Z(G) est donc égal à 1 ou à G tout entier. S'il était égal à G tout entier, G serait commutatif, ce qui est contraire aux hypothèses, donc Z(G) est réduit à l'élément neutre. Le dérivé D(G) de G est lui aussi un sous-groupe distingué de G, donc il est égal à 1 ou à G tout entier. S'il était égal à 1, G serait commutatif, ce qui est contraire aux hypothèses, donc D(G) est égal à G tout entier.

[modifier] Utilisation des opérations d'un groupe sur certains ensembles

Théorème 1

Soit G un groupe opérant sur un ensemble fini X de cardinal n. Si K désigne le noyau de l'homomorphisme de G dans SX correspondant à cette opération, le groupe quotient G/K est isomorphe à un sous-groupe de Sn.

Démonstration. Soit l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à l'opération en question. Le groupe quotient G/K est isomorphe à l'image de , image qui est un sous-groupe de S_X. Comme X est de cardinal n, S_X est isomorphe à S_n, d'où l'énoncé.

Corollaire 1

Si un groupe G opère fidèlement sur un ensemble fini de cardinal n, G est isomorphe à un sous-groupe de Sn.

Démonstration. Soit G un groupe opérant fidèlement sur un ensemble X fini de cardinal n. Dire que cette opération est fidèle signifie que l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à cette opération est injectif. Le noyau K de cet homomorphisme est donc {1}, donc G/K est isomorphe à G, donc, d'après le théorème 1, G est isomorphe à un sous-groupe de S_n.

Corollaire 2

Si un groupe simple G opère non trivialement sur un ensemble X de cardinal fini n, G est isomorphe à un sous-groupe de Sn (et, en particulier, G est fini). Si, de plus, l'ordre de G est au moins égal à 3, G est isomorphe à un sous-groupe de An.

Démonstration. Soit l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à l'action de G sur X. Puisque cette action n'est pas triviale, le noyau de n'est pas G tout entier. D'autre part, puisque le noyau d'un homomorphisme de groupes est sous-groupe distingué du groupe de départ, le noyau de est sous-groupe distingué de G. Puisque G est simple et que, comme nous l'avons vu, le noyau de n'est pas G tout entier, ce noyau est réduit à l'élément neutre, autrement dit l'action de G sur X est fidèle. Il résulte donc du théorème 1 que G est isomorphe à un sous-groupe G₀ de S_n. Puisque G est simple, G₀ est simple. Si G est d'ordre au moins égal à 3, G₀ est un groupe simple d'ordre au moins égal à 3 de S_n. D'après un exercice sur les groupes symétriques finis, G₀ est contenu dans A_n, ce qui achève la démonstration.

Corollaire 3

Soient G un groupe simple et H un sous-groupe de G, distinct de 1 et de G. On suppose que les conjugués de H sont en nombre fini n. Alors G est isomorphe à un sous-groupe de Sn. Si, de plus, l'ordre de G est au moins égal à 3, G est isomorphe à un sous-groupe de An.

Démonstration. Puisque G est simple et que H est distinct de 1 et de G, H n'est pas un sous-groupe distingué de G, donc il a plusieurs conjugués. Il est clair que G agit par conjugaison sur l'ensemble X des conjugués de H et que cette action est transitive. Puisque l'ensemble X des conjugués de H comprend plusieurs éléments, l'action de G sur X n'est donc pas triviale, donc l'énoncé résulte du corollaire 2.

Corollaire 4

Soient G un groupe simple fini d'ordre non premier, p un diviseur premier de l'ordre de G et n le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G. Alors n est au moins égal à 2 et G est isomorphe à un sous-groupe de An (et l'ordre de G divise donc n!/2).

Démonstration. Puisque G est un groupe simple fini d'ordre non premier, son ordre n'est pas une puissance de nombre premier. (Car si son ordre était une puissance de nombre premier, il serait nilpotent, donc résoluble, et on sait que les seuls groupes simples résolubles sont les groupes simples commutatifs, c'est-à-dire les groupes d'ordre premier.) Donc les p-sous-groupes de Sylow de G sont des sous-groupes propres de G. Comme ils sont évidemment > 1 et que G est simple, les p-sous-groupes de Sylow de G ne sont donc pas distingués dans G, donc n est au moins égal à 2. (Voir un problème de la série Théorèmes de Sylow .) Puisque les p-sous-groupes de Sylow de G sont exactement les conjugués de l'un d'entre eux et que l'ordre de G est évidemment au mois égal à 3, il résulte du corolaire 3 que G est isomorphe à un sous-groupe de A_n.

Corollaire 5

Soient G un groupe simple et H un sous-groupe propre de G. Si H est d'indice fini n, G est isomorphe à un sous-groupe de Sn (et est donc fini). Si, de plus, l'ordre de G est au moins égal à 3, G est isomorphe à un sous-groupe de An.

Démonstration. On a vu au chapitre Action de groupe que G agit par translation à gauche sur l'ensemble des classes à gauche modulo H. Il est clair que cette action est transitive. Puisque H est un sous-groupe propre de G, l'ensemble des classes à gauche modulo H a plus d'un élément, donc l'action de G sur cet ensemble, étant transitive, n'est pas triviale. La première assertion de l'énoncé résulte donc du corollaire 2. Si l'ordre de G est au moins égal à 3, G est isomorphe à un groupe simple G₀ d'ordre au moins égal à 3 de S_n. D'après un exercice sur les groupes symétriques finis, G₀ est contenu dans A_n, donc G est isomorphe à un sous-groupe de A_n.

Remarques.
1) Ce corollaire montre qu'un sous-groupe propre d'un groupe simple G ne peut pas être d'indice trop petit par rapport à l'ordre de G.
2) Pour H > 1, le corollaire 5 peut se déduire du corollaire 3. En effet, soient G un groupe simple et H un sous-groupe propre d'indice fini n de G, avec H > 1. Désignons par n' l'indice dans G du normalisateur N_G(H) de H dans G. Nous avons vu au chapitre Action de groupe que le nombre des conjugués de H est égal à n'. Puisque N_G contient N, n' ≤ n. D'après le corollaire 2, G est isomorphe à un sous-groupe de S_n'. Comme n' ≤ n, S_n' est isomorphe à un sous-groupe de S_n (par exemple au sous-groupe de S_n formé par les permutations qui laissent fixe chaque i > n'), G est isomorphe à un sous-groupe de S_n. Si H = 1, le corollaire 3 est vrai même si G n'est pas supposé simple. (Faire opérer G sur lui-même par translation à gauche. Cette opération est évidemment fidèle, donc, d'après le théorème 1, G est isomorphe à un sous-groupe de S_G, ce qui est vrai pour un groupe quelconque, même infini. Ce fait est connu sous le nom de théorème de Cayley.) 3) Réciproquement, le corollaire 3) peut se déduire du corollaire 5). En effet, soiient G un groupe simple fini dont l'ordre n'est pas une puissance de nombre premier et p un facteur premier de l'ordre de G. Comme noté dans la démonstration du corollaire 3), les p-sous-groupes de Sylow de G sont des sous-groupes propres et non triviaux de G. Choisissons un p-sous-groupe de Sylow de G, soit P. Les p-sous-groupes de Sylow de G sont les conjugués de P, donc leur nombre n est égal à l'indice de N_G(P) dans G. Puisque P est un sous-groupe propre et non trivial de G et que G n'est pas simple, P n'est pas sous-groupe distingué de G, donc N_G(P) est un sous-groupe propre de G et le corollaire 5 montre que G est isomorphe à un sous-groupe de S_n.

Corollaire 6

Soient G un groupe et H un sous-groupe d'indice fini n de G. Si H0 désigne l'intersection des conjugués de H, H0 est un sous-groupe distingué de G contenu dans H et le groupe quotient G/H0 est isomorphe à un sous-groupe de Sn. (En particulier, H0 est lui aussi d'indice fini dans G.)

Démonstration. On a vu au chapitre Action de groupe que G opère par translation à gauche sur l'ensemble X des classes à gauche modulo H. Soit l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à cette opération. Montrons que le noyau K de est H₀. Un élément g de G appartient à K si et seulement si pour tout élément x de G, gxH = xH. Cela revient à dire que, pour tout élément x de G, gx appartient à xH, autrement dit g appartient à xHx^-1. Ceci montre bien que K est égal à l'intersection H₀ des conjugués de H. Ainsi, H₀ est le noyau d'un homomorphisme de groupes partant de G, donc est un sous-groupe distingué de G (ce qu'on pourrait évidemment prouver plus directement). Puisque l'ensemble X est de cardinal n, il résulte du théorème 1 que G/H₀ est isomorphe à un sous-groupe de S_n.

Corollaire 7

Soient G un groupe fini d'ordre n > 1 et p le plus petit diviseur premier de n. Si un sous-groupe de G est d'indice p, ce sous-groupe est distingué[2]

Démonstration. Soit H un sous-groupe d'indice p de G. Il s'agit de prouver que H est sous-groupe distingué de G. Il revient évidemment au même de prouver que l'intersection H₀ des conjugués de H est égale à H. D'après le corollaire 6, H₀ est un sous-groupe distingué de G et G/H₀ est isomorphe à un sous-groupe de S_p. Donc l'ordre de G/H₀, autrement dit l'indice de H₀, divise p!. Comme cet indice divise également n, il divise le pgcd de p! et de n. Puisque p est le plus petit diviseur premier de n, le pgcd de p! et de n est égal à p, donc l'indice de H₀ divise p. Puisque H₀ est contenu dans H, H₀ n'est pas G tout entier, donc l'indice de H₀ est p. D'après la formule des indices, il en résulte que H₀ = H, ce qui, comme nous l'avons vu, prouve que H est un sous-groupe distingué de G.
Remarque. Si n est pair, p est égal à 2 et nous retrouvons un théorème déjà démontré (même pour un groupe G infini) : tout sous-groupe d'indice 2 est distingué.

Corollaire 8

Soit G un groupe fini d'ordre n > 1 et non premier, soit p le plus petit facteur premier de n. Si G admet un sous-groupe d'indice p, G n'est pas simple.

Démonstration. Conséquence immédiate du corollaire précédent, puisqu'un sous-groupe d'indice p de G est évidemment distinct de 1 et de G.

[modifier] Utilisation des théorèmes de Sylow

On va donner un exemple de la façon dont la considération des sous-groupes de Sylow permet, pour certains nombres naturels n, de prouver qu'il n'existe pas de groupe simple d'ordre n.

Théorème 2

Soit n un nombre naturel non nul. On suppose qu'il existe un facteur premier p de n tel que n = pr m, où m est non divisible par p, où m > 1 et où le seul diviseur naturel d de m qui soit congru à 1 modulo p est 1. Aucun groupe d'ordre n n'est simple.

Démonstration. Soit G un groupe d'ordre n. D'après les théorèmes de Sylow, le nombre des p-sous-groupes de Sylow est un diviseur de m et est congru à 1 modulo p. D'après les hypothèses de l'énoncé, il en résulte que G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow, soit P. On sait que ceci entraîne que P est un sous-groupe distingué de G. Comme p divise n, P > 1. Comme m > 1, P <G. Ainsi, G admet un sous-groupe distingué P tel que 1 < P < G, donc G n'est pas simple.

On peut ainsi obtenir des théorèmes de non-simplicité (à ne pas mémoriser) pour des groupes finis dont l'ordre est produit d'une petite famille de nombres premiers. Nous savons déjà qu'un groupe fini d'ordre pⁿ, avec p premier et n > 1, n'est pas simple car nous avons vu qu'un tel groupe est nilpotent, donc résoluble, et nous avons vu aussi que les seuls groupes simples résolubles sont les groupes d'ordre premier.

Corollaire 1

Soient p et q deux nombres premiers (non forcément distincts). Aucun groupe d'ordre p q n'est simple.

Démonstration. Soit G un groupe d'ordre p q. Il s'agit de prouver que G n'est pas simple. Si tout d'abord p et q sont égaux, G est d'ordre p² et n'est pas simple d'après une remarque ci-dessus. Supposons maintenant p et q distincts. Soit par exemple q le plus petit des deux. Alors q n'est pas congru à 1 modulo p. (Si on avait q = a p + 1 avec a entier rationnel, il faudrait évidemment a > 0, d'où q < p, contradiction.) Puisque q est premier, il en résulte que le seul diviseur naturel de q qui soit congru à 1 modulo p est 1, donc, d'après le théorème 2, G n'est pas simple.
Remarque. On aurait pu dire aussi que d'après les théorèmes de Sylow, G admet un sous-groupe P d'ordre p. Un tel sous-groupe est d'indice q. Comme q est le plus petit diviseur premier de l'ordre de G, P est donc distingué dans G d'après un corollaire du théorème 1.

On trouvera dans les exercices quelques théorèmes supplémentaires, notamment l'isomorphie de tous les groupes simples d'ordre 60.

[modifier] Notes et références

1. ↑ Le premier de ces deux théorèmes (« théorème p^a q^b de Burnside ») fut démontré par Burnside à l'aide de la théorie des caractères des groupes finis. On en trouve une démonstration indépendante de la théorie des caractères dans H. Kurzweil et B. Stellmacher, The theory of finite groups, an introduction, Springer, 2004, pp. 276-280. Pour la façon dont le second théorème en question se déduit du célèbre théorème de Feit et Thompson (tout groupe simple fini non commutatif est d'ordre pair), voir J. Rotman, An introduction to the theory of groups, Springer, 4^e éd., tirage de 1999, p. 198.
2. ↑ Énoncé dans J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 217, exerc. 11.