Groupe (mathématiques)/Lois de composition internes, monoïdes

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Lois de composition internes, monoïdes
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Chapitre 1
Leçon : Groupe
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Chap. suiv. : Groupes, premières notions
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Sommaire

[modifier] Loi de composition interne

Définition

Une loi de composition interne \star sur un ensemble X est une application: \star : X\times X \rightarrow X. Au lieu d'utiliser une notation fonctionnelle \star(x,y) on utilise une notation en loi : x \star y.

Exemples : 1) dans l'ensemble des parties d'un ensemble X, la loi de composition qui au couple (A, B) fait correspondre l'intersection de A et B; 2) dans l'ensemble des parties d'un ensemble X, la loi de composition qui au couple (A, B) fait correspondre l'union de A et B; 3) dans l'ensemble des parties d'un ensemble X, la loi de composition qui au couple (A, B) fait correspondre la différence (ensembliste) A - B (ensemble des éléments de A qui n'appartiennent pas à B); 4). la somme dans l'ensemble des entiers naturels; 5) le produit dans l'ensemble des entiers naturels.


Définition

Une loi de composition interne \star sur un ensemble X est dite commutative si, pour tous éléments x, y de X, \ x \star y = y \star x.

Exemples : l'intersection de deux parties d'un ensemble, la réunion de deux parties d'un ensemble, l'addition et la multiplication dans l'ensemble des entiers naturels sont des lois commutatives. Si X est un ensemble non vide, la loi de composition dans l'ensemble des parties de X qui applique (A, B) sur la différence A - B n'est pas commutative (faire par exemple A = X et B = ∅).


Définition

Une loi de composition interne \star sur un ensemble X est dite associative si, pour tous éléments x, y et z de X, \ (x \star y) \star z = x \star (y \star z).

On voit que si une loi est associative, les parenthèses peuvent être omises sans ambiguïté : on écrit \ x \star y \star z plutôt que \ (x \star y) \star z ou \ ( x \star (y \star z).

Une loi associative est souvent notée multiplicativement, c'est-à-dire qu'on écrit \ x y au lieu de \ x \star y. On peut aussi la noter additivement, c'est-à-dire écrire \ x + y au lieu de \ x \star y, mais on préfère en général réserver la notation additive aux lois associatives et commutatives.


Définition

Soit \star une loi de composition interne sur un ensemble X. On dit qu'un élément e de X est un élément neutre pour cette loi si, pour tout élément x de X, \ x \star e = e \star x = x.

Un élément neutre pour une loi notée multiplicativement est généralement noté 1. Un élément neutre pour une loi notée additivement est généralement noté 0.


Théorème

Une loi de composition interne admet au plus un élément neutre.

Démonstration. Soient e1 et e2 des éléments neutres pour une même loi de composition interne \ \star. Puisque e1 est neutre, \ e_{1} \star e_{2} = e_{2}; puisque e2 est neutre, \ e_{1} \star e_{2} = e_{1}. Ainsi, e1 et e2 sont tous deux égaux à \ e_{1} \star e_{2} et sont donc égaux entre eux.


Définition

Soit \star une loi de composition interne sur un ensemble X, admettant un (unique) élément neutre e. On dit que deux éléments x et y de X sont symétriques l'un de l'autre si \ x \star y = y \star x = e. Pour une loi notée multiplicativement, on dit plutôt inverses, et pour une loi notée additivement, on dit plutôt opposés.


Théorème

Soit \ \star une loi de composition interne associative dans un ensemble E. Un élément de E admet au plus un symétrique.

Démonstration. Soit x un élément de E; prouvons que x admet au plus un symétrique. Soient y et z des symétriques de x; il s'agit de prouver que y = z. Puisque la loi \star est supposée associative, nous avons

(y \star x) \star z = y \star (x \star z).

Puisque y et z sont des symétriques de x, nous puvons remplacer y \star x et x \star z par e, d'où e \star z = y \star e, autrement dit z = y, comme annoncé.

On dit donc « le » symétrique de x. Il est clair que le symétrique du symétrique de x est x lui-même. En notation multiplicative :

(x − 1) − 1 = x.


Définition

Soit \ \star une loi de composition interne sur un ensemble E. On dit qu'un élément a de E est simplifiable à gauche (ou encore régulier à gauche) si, pour tous éléments x, y de E, la relation ax = ay entraîne x = y. On dit que a est simplifiable à droite (ou encore régulier à droite) si, pour tous éléments x, y de E, la relation xa = ya entraîne x = y. On dit que a est simplifiable (ou encore régulier) s'il est simplifiable à gauche et à droite.

[modifier] Monoïdes

Définition

Un monoïde (M,\star) est un ensemble M muni d'une loi de composition interne associative \star admettant un élément neutre.

Remarque : l'existence de l'élément neutre entraîne en particulier que M n'est pas vide.


Définition

Une partie S d'un monoïde M est appelée un sous-monoïde de M si elle comprend l'élément neutre de M et que le composé de deux éléments de S appartient toujours à S.

La loi de composition de M induit alors sur S une loi de composition qui fait de S un monoïde.


Théorème

Tout élément inversible d'un monoïde est simplifiable.

Démonstration. Soient M un monoïde, noté multiplicativement, et a un élément inversible de M. Prouvons que a est simplifiable à gauche. Soient x et y des éléments de M tels que a x = a y. Il s'agit de prouver que x = y. L'hypothèse a x = a y entraîne a-1(ax) = a-1(a y), ce qui, d'après l'associativité, peut s'écrire (a-1a) x = (a-1 a) y. Puisque a-1a est égal à l'élément neutre, nous avons donc x = y, comme annoncé, ce qui prouve que a est simplfiable à gauche. On prouvera de même que a est simplfiable à droite, donc a est simplifiable.

[modifier] Composé d'une séquence (finie) d'éléments d'un monoïde

Soit E un monoïde. Notons sa loi de composition sous forme multiplicative, c'est-à-dire que nous écrirons xy pour désigner le composé noté plus haut x \star y. L'élément neutre est alors désigné par 1.
Nous nous proposons de définir le composé (« produit » dans notre notation) d'un n-uplet (x_{i})_{1 \leq i \leq n} d'éléments de E, quel que soit le nombre naturel n \geq 0.
Étant donné un tel n-uplet, nous pouvons construire par récurrence sur i un (n+1)-uplet (p_{i})_{0 \leq i \leq n} d'éléments de E en posant :

p0 = 1

et

p_{i + 1} = p_{i}x_{i + 1} \quad pour \quad 0 \leq i \leq n - 1.

Nous définissons alors le composé du n-uplet (x_{i})_{1 \leq i \leq n} comme étant pn. On note ce composé

x_{1} \ldots x_{n}

ou encore

\prod _{i=1}^{n}x_{i}.

On montre facilement par récurrence sur i que si (x1,...,xn + 1) est un (n+1)-uplet d'éléments de E, les n+1 « produits partiels » pi associés comme ci-dessus au n-uplet (plus petit) (x1,...,xn) sont les n+1 premiers des n+2 produits partiels associés au (n+1)-uplet (x1,...,xn + 1), d'où la formule

\prod _{i=1}^{n+1}x_{i} = (\prod _{i=1}^{n}x_{i})x_{n+1}

qu'on peut encore écrire

x_{1} \ldots x_{n+1} = (x_{1}...x_{n}) x_{n+1}.

Cette formule, ou la formule

x_{1} \ldots x_{n+1} = x_{1}(x_{2}...x_{n+1})

est couramment présentée comme définition de x_{1} \ldots x_{n} par récurrence sur n. Du fait de l'associativité, ces deux formules fournissent la même définition. En effet, avec la définition que nous avons choisie, on prouve par récurrence sur s que, pour tous nombres naturels r et s, pour tout r-uplet (x1,...,xr) et tout s-uplet (y1,...,ys) d'éléments de E,

(x_{1} \ldots x_{r}) \ (y_{1} \ldots y_{s}) = x_{1} \ldots x_{r} \ y_{1} \ldots y_{s},

ce qui permet de prouver l'équivalence des deux définitions par récurrence sur le nombre de facteurs.

On notera que, d'après nos définitions, le produit de la famille vide (ou 0-uplet) est égal à 1.

On appelle séquence d'éléments de E une famille d'éléments de E indexée par un ensemble fini totalement ordonné. On associe de façon évidente à une telle séquence un n-uplet (x_{i})_{1 \leq i \leq n} d'éléments de E, ce qui permet d'étendre de façon évidente la définition du composé d'un n-uplet d'éléments de E à toute séquence d'éléments de E. Deux séquences

(x_{i})_{i \in I} \quad et \quad (y_{j})_{j \in J}

sont dites équivalentes s'il existe un isomorphisme σ d'ensembles ordonnés de I sur J tel que, pour tout élément i de I,

yσ(i) = xi.

Cela équivaut à ce que les n-uplets correspondant à ces deux séquences soient identiques, donc deux séquences équivalentes ont le même composé.

La considération des séquences permet de formuler comme suit le théorème d'associativité[1] :

Soit E un monoïde, noté multiplicativement, soit A un ensemble fini totalement ordonné, soit (A_{i})_{i \in I}) une famille finie de parties deux à deux disjointes de A dont la réunion est A tout entier. (On n'exclut pas que certains des ensembles considérés soient vides.) On suppose que si i et j sont deux éléments de I tels que i < j, alors a < b pour tout élément a de Ai et tout élément b de Aj. Pour toute séquence (x_{a})_{a \in A} d'éléments de E indexée par A, on a

\prod _{a \in A}x_{a} = \prod _{i \in I} \prod _{a \in A_{i}}x_{a}

Si le monoïde E est commutatif, on peut définir le composé d'une famille finie d'éléments de E sans préciser un ordre sur l'index de cette famille, car on prouve que le composé, tel que défini ci-dessus, est alors indépendant de l'ordre choisi. Plus généralement, si E est un monoïde non forcément commutatif, si

(x_i)_i \in I

est une famille d'éléments de E dont tous les éléments commutent l'un avec l'autre, le produit des éléments de cette famille ne dépend pas de l'ordre choisi. C'est le « théorème de commutativité »[2]. Ce théorème revient à dire que si (x_i)_i \in I est une famille finie d'éléments d'un monoïde qui commutent tous l'un avec l'autre, si \ \sigma est une permutation de l'ensemble \ I,

\prod _{i \in I}x_{i} = \prod _{i \in I} x_{\sigma(i)}.

Plus généralement, si (x_i)_i \in I est une famille finie d'éléments d'un monoïde qui commutent tous l'un avec l'autre, si \ \sigma est une bijection d'un ensemble \ J sur \ I,

\prod _{i \in I}x_{i} = \prod _{j \in J} x_{\sigma(j)}.

Le lemme suivant nous servira au chapitre des produits de groupes :


Lemme

Soient M un monoïde et x1, ... , xn, y1, ... , yn des éléments de M. Si, pour tous indices distincts i, j, xi commute avec yj, alors

x1 ... xn y1 ... yn = x1 y1 ... xn yn.

Démonstration. Preuve par récurrence sur n. Si n = 0, les deux membres de la thèse sont égaux à 1, donc la thèse est vraie dans ce cas. Supposons que n soit un nombre naturel > 0 et que la thèse soit vraie pour n - 1 au lieu de n, et prouvons que la thèse est vraie pour n.
Puisque xn commute avec chacun des éléments y1, ... , yn-1, nous pouvons remplacer, dans le premier membre de la thèse, xn y1 ... yn-1 par y1 ... yn-1 xn, donc

x1 ... xn y1 ... yn = x1 ... xn-1 y1 ... yn-1 xn yn.

Par hypothèse de récurrence, nous pouvons remplacer dans la second membre x1 ... xn-1 y1 ... yn-1 par x1 y1 ... xn-1 yn-1, d'où la thèse.

Remarque. C'est vrai a fortiori dans l'hypothèse plus forte où tous les éléments x1, ... , xn, y1, ... , yn commutent deux à deux. Dans ce cas, l'énoncé est un cas particulier du théorème de commutativité.

[modifier] Notes et références

  1. ↑ N. Bourbaki, Algèbre, Paris, Hermann, 1970, ch. I, § 1, n° 3, p. 4, et § 2, n° 1, p. 13.
  2. ↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 1, théor. 2, Paris, 1970, p. 8.
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