Groupe (mathématiques)/Groupes symétriques finis/Support d'une permutation

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**Support d'une permutation**
Leçon : Groupes symétriques finis

Chapitre 2
Chap. préc. :	Groupe symétrique comme groupe opérant
Chap. suiv. :	Cycles

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Support d'une permutation

Soient E un ensemble et $σ$ une permutation de E. On^[1] appelle support de $σ$ , et on note supp( $σ$ ), l'ensemble des éléments de E qui ne sont pas points fixes de $σ$ , autrement dit l'ensemble des éléments x de E tels que $\sigma (x) \not= x$ .

De façon générale, si G est un groupe opérant sur un ensemble X, nous avons vu que les points fixes d'un élément g de G sont identiques aux points fixes de g⁻¹, que le stabilisateur d'un élément x de X est un sous-groupe de G et qu'un élément x de X est point fixe d'un élément g de G si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <g> de G sur X. Donc

1° Soient $\sigma_{1}, \ldots ,\sigma_{n}$ des permutations d'un même ensemble E; alors

$\mathrm{supp}(\sigma_{1} \circ \ldots \circ \sigma_{n}) \subseteq \mathrm{supp}(\sigma_{1}) \cup \ldots \cup \mathrm{supp}(\sigma_{n})$

(en effet, un élément de E qui n'appartient pas au second membre est point fixe de chacune des permutations $\sigma_{1}, \ldots ,\sigma_{n}$ et est donc point fixe de leur composée); en particulier, si $σ$ est une permutation de E, si k est un nombre naturel $\geq 0$ , le support de $σ k$ est contenu dans celui de $σ$ .

2° Le support de $σ - 1$ est égal à celui de $σ$ .

3° Les points fixes de $σ$ sont les points fixes pour l'opération de $< σ >$ sur E, donc le support de $σ$ est la réunion des orbites non ponctuelles de cette opération (et ne peut donc pas être un ensemble à un élément).

Puisque le support $\ \mathrm{supp}(\sigma)$ de $\ \sigma$ est une réunion de $\ <\sigma>$ -orbites, $\ <\sigma>\rm{supp}(\sigma) = \rm{supp}(\sigma)$ et $\ <\sigma>$ opère sur $\ \mathrm{supp}(\sigma)$ ; en particulier, si un élément $\ x$ appartient au support de $\ \sigma$ , l'élément $\ \sigma(x)$ appartient lui aussi à ce support (on peut évidemment le prouver plus directement). Puisque $\ x$ et $\ \sigma(x)$ sont distincts, ceci montre de nouveau que si le support n'est pas vide, il comporte au moins deux éléments.

Lemme

Soient E un ensemble et $\sigma_{1}, \ldots ,\sigma_{n}$ des permutations de E à supports deux à deux disjoints (c'est-à-dire que $\mathrm{supp}(\sigma_{i}) \cap \mathrm{supp}(\sigma_{j}) = \empty$ pour tout couple (i, j) d'indices distincts). Posons $\sigma = \sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{n}$ . Soit x un élément de E. Si x n'appartient à aucun des supports $\ \mathrm {supp}(\sigma_{i})$ , $\ \sigma(x)$ est égal à x, sinon, il est égal à $\ \sigma_{i}(x)$ , où i désigne le seul indice tel que $x \in \mathrm{supp}(\sigma_{i})$ . Le support de $σ$ est la réunion des supports des $\ \sigma_{i}$ . Deux permutations de E à supports disjoints commutent.

Démonstration. Nous savons déjà que le support de $\ \sigma$ est contenu dans la réunion des supports des $\ \sigma_{i}$ , donc si x n'appartient à aucun des supports $\ \mathrm{supp}( \sigma_{i})$ , il est point fixe de $\ \sigma$ . Dans le cas contraire, il existe un et un seul i tel que $x \in \mathrm{supp}(\sigma_{i})$ . Puisque x n'appartient pas aux supports de $\sigma_{i+1}, \ldots , \sigma_{n}$ , nous avons

$\sigma_{i+1} \ldots \sigma_{n}(x) = x$ ,

d'où, en appliquant $σ i$ aux deux membres,

$\sigma_{i}\sigma_{i+1} \ldots \sigma_{n}(x) = \sigma_{i}(x)$ .

D'après ce que nous avons vu, $\ \sigma_{i}(x)$ appartient au support de $\ \sigma_{i}$ et n'appartient donc à aucun des supports $\mathrm {supp}(\sigma_{1}), \ldots , \mathrm {supp}(\sigma_{i-1})$ et est donc point fixe de $\sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{i-1}$ . En passant aux valeurs par $\sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{i-1}$ dans la précédente égalité, nous trouvons donc $\ \sigma(x) = \sigma_{i}(x)$ comme annoncé.
Il résulte de ce qui précède que le support de $\ \sigma$ est la réunion des supports des $\ \sigma_{i}$ .
En appliquant l'explicitation trouvée de $\sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{n}(x)$ au nombre n = 2, à la composée $\ \sigma_{1} \sigma_{2}$ et à la composée $\ \sigma_{2} \sigma_{1}$ , nous trouvons que deux permutations de E à supports disjoints commutent.