Groupe (mathématiques)/Groupes symétriques finis/Groupe symétrique comme groupe opérant

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Rappelons la définition :

Groupe symétrique d'un ensemble

Soit E un ensemble. On désigne par ou l'ensemble des permutations de E, muni de la loi de groupe définie par pour toutes permutations f et g de E et pour tout élément x de E. Ce groupe est dit groupe symétrique de E.

Nous noterons souvent le groupe symétrique multiplicativement, par juxtaposition. Ainsi, nous écrirons au lieu de pour désigner la composée de deux permutations. De même, n étant un nombre naturel, nous désignerons par la composée de n permutations égales à et par la permutation réciproque de . Nous dirons aussi « produit de permutations » plutôt que « composée de permutations » etc.

Si E et F sont deux ensembles équipotents, les groupes S_E et S_F sont isomorphes. En effet, soit f une bijection f de E sur F; à toute permutation σ de E, faisons correspondre la permutation de F; on vérifie facilement que nous définissons ainsi un isomorphisme de S_E sur S_F.

Dans le cas particulier où E est l'ensemble pour un certain nombre naturel n, on écrit plutôt que . D'après la remarque précédente, le groupe symétrique de tout ensemble fini à n éléments est isomorphe à .

L'application est une action du groupe sur l'ensemble E, dite action naturelle de S_E sur E. Nous avons vu qu'à toute action d'un groupe G sur un ensemble X correspond un homomorphisme de G dans . Dans le cas présent, cet homomorphisme est l'identité (homomorphisme identique de sur lui-même).

Plus généralement, si H est un sous-groupe de , nous dirons que l'action de H sur E induite par celle de est l'action naturelle de H sur E.